¿Es única la elipsoide más pequeña que contiene un conjunto convexo?

Question

Sea $S \subset \mathbb{R}^n$ un conjunto convexo. Supongamos que está acotado. Queremos encontrar un elipsoide $E$ de menor volumen tal que $S \subset E$. ¿Es $E$ único?

Answer 1

Mi argumento es que la respuesta es afirmativa por lo siguiente

Lema. Si dos elipsoides diferentes $E_1,E_2$ con el mismo volumen (hiper-)intersectan, existe algún elipsoide $E_3$ que encierra a $E_1\cap E_2$ con la propiedad de que $V(E_3)< V(E_1)$.

Esbozo de la prueba: Me referiré solo al caso 3D. $E_1\cap E_2$ está descrito por algo como: $$ \left \{ \begin{array}{rcl}\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}&\leq& 1\\\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}+\frac{z^2}{C^2}&\leq& 1\end{array} \right.\tag{1}$$ donde $abc=ABC$. Cada punto $(x,y,z)$ que cumple las desigualdades anteriores también cumple $$ \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{x^2}{A^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{y^2}{B^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}+\frac{z^2}{C^2}\leq 2, \tag{2} $$ que es la ecuación de un elipsoide con volumen dependiente del producto: $$ \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2A^2}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2B^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2c^2}+\frac{1}{2C^2}}} \tag{3}$$ A través de la desigualdad de Cauchy-Schwarz u otros medios, no es difícil mostrar que bajo la suposición $abc=ABC$, el producto anterior es $\leq abc$, logrando la igualdad solo en $(a,b,c)=(A,B,C)$, probando el Lema. Además, el enfoque es independiente de la dimensión.

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Volviendo a la pregunta original: asumiendo que dos elipsoides diferentes $E_1, E_2$ con el mismo volumen minimal encierran a $S$, el elipsoide $E_3$ encontrado a través del procedimiento de "promedio" anterior también encierra a $S$, pero $V(E_3)

Esto demuestra una especie de "dual" del teorema de John. Acabo de aprender que el elipsoide circunscrito con volumen mínimo también es conocido como el elipsoide de Loewner-John $E^+$.

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El procedimiento de promedio anterior también puede mejorarse considerando una combinación convexa de las ecuaciones que aparecen en $(1)$ que conduce al elipsoide promediado $E_3$ con volumen mínimo. Eso probablemente también conduzca a un algoritmo iterativo para encontrar un elipsoide que encierre con un volumen arbitrariamente cercano al mínimo.