Que $S \subset \mathbb{R}^n$ ser un conjunto convexo. Asumir que es limitado. Queremos encontrar un elipsoide $E$ de volumen más pequeño tal que $S \subset E$. ¿Es $E$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mi reclamo es que la respuesta es afirmativa, por el siguiente
Lema. Si dos diferentes elipsoides $E_1,E_2$ con el mismo (hiper-)el volumen se cruzan, hay algunos elipsoide $E_3$ adjuntando $E_1\cap E_2$ con la propiedad de que $V(E_3)< V(E_1)$.
Bosquejo de la prueba: voy a tratar sólo con el 3D caso. $E_1\cap E_2$ es descrito por algo como: $$ \left \{ \begin{array}{rcl}\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}&\leq& 1\\\frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}+\frac{z^2}{C^2}&\leq& 1\end{array} \right.\tag{1}$$ donde $abc=ABC$. Cada punto de $(x,y,z)$ el cumplimiento de las anteriores desigualdades también se cumple $$ \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{x^2}{A^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{y^2}{B^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}+\frac{z^2}{C^2}\leq 2, \tag{2} $$ que es la ecuación de un elipsoide de volumen, dependiendo del producto: $$ \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2a^2}+\frac{1}{2A^2}}}\cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2b^2}+\frac{1}{2B^2}}}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2c^2}+\frac{1}{2C^2}}} \tag{3}$$ A través de la de Cauchy-Schwarz desigualdad o por otros medios, no es difícil mostrar que, bajo el supuesto de $abc=ABC$, el producto anterior es $\leq abc$, con igualdad logrado sólo en $(a,b,c)=(A,B,C)$, lo que demuestra el Lema. Por otra parte, el enfoque es de dimensión independiente.
Volvemos a la pregunta original: suponiendo que dos diferentes elipsoides $E_1, E_2$ con el mismo volumen mínimo encerrar $S$, el elipsoide $E_3$ encontrado a través de los de arriba "promedio" procedimiento también encierra $S$, pero $V(E_3)<V(E_1)$ contradice el volumen minimality de $E_1$.
Esto demuestra ser una especie de "doble" de Juan del teorema. He aprendido que la circunscribe elipsoide con un mínimo de volumen es también conocida como la Loewner-Juan elipsoide $E^+$.
El por encima de un promedio de procedimiento también se puede mejorar mediante la consideración de un convexo de la combinación de las ecuaciones que aparecen en $(1)$ que lleva a que el promedio de elipsoide $E_3$ con un mínimo de volumen. Que probablemente también conduce a un algoritmo iterativo para encontrar una adjuntando elipsoide de volumen, arbitrariamente cercano al mínimo.
