Fórmula relativa % características de Euler $\chi(A)$, $\chi(X)$, $\chi(Y)$, $\chi(Y \cup_f X)$ cuando $X$ y $Y$ son finitos.

Question

Esta es una respuesta a mi pregunta aquí.

Que $A$ subcomplex del CW complejo $X$, que $Y$ ser un CW complejo, que $f: A \to Y$ mapa celular, y que $Y \cup_f X$ el semitroquelado de $f$ y el % de inclusión $A \to X$. ¿Hay una fórmula sobre el % de características de Euler $\chi(A)$, $\chi(X)$, $\chi(Y)$ y $\chi(Y \cup_f X)$ cuando $X$ y $Y$ son finitos?

Answer 1

De hecho, los hay. Deje $Z=Y \cup_f X$ ser el pushout del diagrama de $X\leftarrow A\rightarrow Y$. Yo reclamo que $$\chi(Z)=\chi(X)+\chi(Y)-\chi(A).$$

Para ver esto, primero vamos a recordar la siguiente hecho general

Para cualquier cadena compleja $C_*$ sostiene que $$\sum_n (-1)^n \text{rank }C_n = \sum_n (-1)^n \text{rank }H_n(C_*).$$

Esto es bastante fácil de demostrar y que usted puede leer sobre él, por ejemplo, en Hatcher la prueba del Teorema de 2.44.

Ahora considere la posibilidad de Mayer-Vietoris secuencia correspondiente a la anterior pushout:

$$\cdots \underbrace{H_1(Z)}_{C_3}\to \underbrace{H_0(A)}_{C_2}\to \underbrace{H_0(X)\oplus H_0(Y)}_{C_1}\to \underbrace{H_0(Z)}_{C_0}\to 0 $$

Cualquier largo de la secuencia exacta de mayo de trivialmente ser considerado como un complejo de cadena, así que vamos a definir $C_i$ como se ha indicado anteriormente. A continuación, desde la homología de una cadena exacta complejo se desvanece, tenemos $\text{rank }H_n(C_*)=0$ todos los $n$. Por lo tanto, obtenemos $$\begin{eqnarray}0&=&\sum_n (-1)^n \text{rank }H_n(C_*) \\&\stackrel{\text{General fact}}{=}& \sum_n(-1)^n\text{rank }C_n \\&\stackrel{\text{Def. of }C_i}{=}&\text{rank }H_0(Z) - (\text{rank }H_0(X) +\text{rank }H_0(Y)) + \text{rank }H_0(A) -\text{rank }H_1(Z)+\cdots \\&\stackrel{\text{Euler-Poincare formula}}{=}&\chi(Z) - (\chi(X)+\chi(Y)) + \chi(A) \end{eqnarray}$$

lo que implica la reclamación.

Answer 2

No necesita homología o Maier-Vietoris para esto. Simplemente observar que las células relativa $(Y\cup_F X, Y)$ están en biyección con los de $(X,A)$.