¿Hay tal $p$ que todos $q$, $4pq+2p+1$ isn ' primer t?

Question

¿Hay tal $p$ que todos $q$ $4pq+2p+1$ no es primer?

$4pq+2p+1=2p(2q+1)+1$, supongo que el problema puede ser replanteado como "¿existe tal un número par, que su producto con cualquier número impar más uno no es primer?, pero eso es lo que puedo ir.

Answer 1

Si $2p + 1$ $4p$ son coprime, entonces existe al menos un (infinitamente muchos, en realidad) $q$ tal que $4pq + 2p + 1$ es un número primo. Este es del teorema de Dirichlet.

Ahora, sólo tenemos que demostrar que $2p + 1$ $4p$ siempre coprime. Para ello, considere la posibilidad de $d$, el MCD de los dos. A continuación, puede deducirse que la $d = 1$ o $d=2$. Voy a dejar esta deducción.

Pero $2\not| (2p+1)$. Por lo que su MCD debe ser igual a $1$, es decir, deben ser coprime.

Por lo tanto, vemos que no se entero positivo $p$ existe.