Estoy aprendiendo álgebra conmutativa y hay una definición sobre módulos fielmente planos o extensiones de anillo. No puedo pensar en un ejemplo de una extensión o módulo de anillo plana pero no fielmente plana. ¿Alguien puede ayudarme con eso? Gracias
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Tome$f: A \rightarrow B$ para que sea un homomorfismo de anillo de manera que el morfismo correspondiente de los esquemas afines$Spec B \rightarrow Spec A$ no sea surjective, sino solo plano. Hay una manera fácil de hacer esto: Recuerde que la localización de un anillo R en un subconjunto multiplicativo$S$ da un homomorfismo de anillo plano$R \rightarrow S^{-1}R$. Sin embargo, este anillo de homomorfismo es fielmente plano iff$S^{-1}R=R$.
Jeff
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Posiblemente el instructivo, ejemplo concreto es $\Bbb{Q}$ como un grupo abelian (es decir, como una $\Bbb{Z}$-módulo). Por supuesto, esto es sólo un caso especial de Dedalus la respuesta (y YACP del comentario), pero vamos a probar todavía el resultado directamente.
Claramente $\Bbb{Q}$ no es un fielmente plano abelian grupo, por ejemplo, el cero de morfismos $$ \Bbb{Z}/2\Bbb{Z} \rightarrow 0 $$ no es inyectiva, pero después de tensoring con $\Bbb{Q}$ este morfismos es la identidad en el grupo cero (como $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z} \otimes \Bbb{Q} \cong 0$).
Por otro lado, $\Bbb{Q}$ es un plano abelian grupo. Para ver esto, supongamos que $$ f: A \B hookrightarrow $$ es un inyectiva de morfismos de abelian grupos, y considerar la inducida por morfismos $$ f \otimes id: \otimes \Bbb{Q} \rightarrow B \otimes \Bbb{Q} $$ Ahora para $b \in B$ el elemento $b \otimes 1 \in B \otimes \Bbb{Q}$ es igual a cero, si y sólo si $b$ es de torsión. De modo que el núcleo de $f \otimes id$ consiste, precisamente, de los elementos $f(a) \otimes id$, de tal manera que $f(a)$ es de torsión. Pero inyectividad de $f$ implica que el $a$ debe ser de torsión así, es decir,$a \otimes 1=0$. Esto demuestra que $f \otimes id$ es inyectiva, y por lo tanto $\Bbb{Q}$ es un plano abelian grupo.
