Un truco para calcular$n^6$ que no entiendo

Question

Estaba haciendo un ejercicio de matemáticas y me pidió que descubriera cuáles son los dígitos de unidades posibles de$n^6$ sabiendo que$n\in\mathbb Z$. La solución dice que, dado que solo nos interesa encontrar los dígitos de las unidades de$n^6$, basta con tomar la sexta potencia de los números$0,1,2,\dots,9$ y los resultados serían nuestras respuestas (que son$0,1,4,5,6,9$). ¿Cómo es que esto es verdad? ¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

¿Cuál es el dígito de unidades de$340274513\times 384759374\,{}$? $$ \begin{array}{ccccccccccccc} & & & & 3 & 4 & 0 & 2 & 7 & 4 & 5 & 1 & 3 \\ & & & \times & 3 & 8 & 4 & 7 & 5 & 9 & 3 & 7 & 4 \\ \hline & & & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 2 \\ & & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ & & & \vdots \\ & & & \vdots \\ \hline \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 2 \end {matriz} $$ El método de multiplicar que aprendió de niño le muestra que el dígito de unidades en el producto está determinado por los dígitos de unidades, y no por ninguno de los otros dígitos, en los números que te estás multiplicando

Además puedes escribir el número$340274513$ como$\Big(34027451\times10\Big)+3$ y$384759374$ como$\Big(38475937\times 10\Big)+4$, y luego tienes \begin{align} & 340274513\times384759374 \\[10pt] = {} & \Big(\big(34027451\times10\big)+3\Big)\times\Big(\big(384759374\times10\big)+4\Big) \\[10pt] = {} & \Big(\underbrace{\text{something}\times 10}_{\begin{smallmatrix} \text{This contributes} \\ \text{nothing to the} \\ \text{units digit.} \end {smallmatrix}} \ Big) + (3 \ veces 4) \ end {align}

Answer 2

Suponer que $a,b\in\mathbb{Z}$. Por el teorema binomial$$(10a+b)^k=10^ka^k+\binom{k}{1}10^{k-1}a^{k-1}b+\cdots+\binom{k}{1}10ab^{k-1}+b^k$$ $$=10c+b^k$$ for some $ c \ in \ mathbb {Z}$, so the units digit of $ (10a + b) ^ k$ and $ b ^ k $ son lo mismo.

De manera más general, esto se debe a que el módulo de multiplicación$10$ (o cualquier módulo) está bien definido.

Answer 3

Tenga en cuenta que $(10a+b)(10c+d) = 10(10ac+ad+bc)+bd$

Esta es solo una forma algebraica de mirar la larga multiplicación mostrada por Michael Hardy. Cada vez que multiplicamos dos enteros positivos, el dígito de las unidades depende solo de los dígitos de las unidades de los números originales.

Esto, obviamente, se aplica a tres o más factores, y se aplica si los factores son iguales o diferentes.

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La misma lógica se aplica a los residuos al dividirse por un número que no sea$10$

Answer 4

Un poco más avanzado pero más general: para todos$a,b\in\mathbb{Z}$,$n\in\mathbb{N}$ $$ (a \ cdot b) \ bmod n = (a \ bmod n) \ cdot (b \ bmod n) $$

Ahora aplica esto inductivamente con$n=10$ y ten en cuenta que el último dígito de un número es su residuo mod$n$

Answer 5

Si realiza los cálculos con lápiz y papel, el dígito de unidades de$n^6$ depende únicamente del dígito de unidades de$n$, cualquiera que sea$n\in{\mathbb N}$.