Secuencia de $f_n \in R[0, 1]$ que converge puntualmente a $f \in R[0, 1]$ tal que $\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n dx \neq \int_0^1 f dx$ .

Question

Pregunta:

Encontrar una secuencia de funciones $f_n \in R[0, 1]$ que converge puntualmente a $f \in R[0, 1]$ tal que $\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n dx \neq \int_0^1 f dx$ . ( $R$ significa integrable de Riemann-Stieltjes)

Intento:

Escoge \begin {align*} f_n(x) = \begin {casos} n \quad x \in (0,1/n) \\ 0 \quad si no \end {casos}. \end {align*} Dejemos que $f(x)$ sea la función cero. Por lo tanto, $\lim_{n \to \infty} f_n = f$ . Entonces, tenemos $$1 = \lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n dx \neq \int_0^1 f dx= 0$$ y hemos terminado.

¿Es esta una respuesta adecuada?

Answer 1

La respuesta es correcta, siempre que se pueda justificar que $f_n\in R[0,1]$ . Tal vez haya un teorema sobre las funciones escalonadas que son integrables, o sobre las funciones continuas a trozos, o simplemente lo haces a mano para este ejemplo.

Si quisieras utilizar el teorema de que las funciones continuas sobre $[0,1]$ son integrables de Riemann, un ejemplo modificado sería útil: "triángulos flacos": $$ f(x)=\begin{cases} n^2x,\quad &0\le x\le 1/(2n), \\ n-n^2x, \quad & 1/(2n)\le x\le 1/n; \\ 0,\quad &1/n\le x\le 1 \end{cases} $$