¿Qué tan rápido crecen las esferas a medida que la dimensión aumenta?

Question

Sea $\varepsilon > 0$. Sea $k_d(\varepsilon)$ el número mínimo de bolas $B(x, \varepsilon) \subset \mathbb{R}^d$, $x \in \mathbb{S}^{d-1}$, con respecto a la métrica usual en $\mathbb{R}^d$, necesarias para cubrir $\mathbb{S}^{d-1}$.

¿Hay una forma sencilla de calcular $k_d(\varepsilon)$? Estoy interesado en la tasa a la que aumenta a medida que crece $d$. Por ejemplo, las razones $k_{d+1}(\varepsilon) / k_d(\varepsilon)$ serían suficientes.

Hasta ahora, he intentado estudiar polígonos regulares con vértices en $\mathbb{S}^{d-1}$ y áreas de casquetes esféricos alrededor de $x$ en comparación con el área de $\mathbb{S}^{d-1}$, pero las cosas tienden a complicarse bastante: Por ejemplo, con los casquetes esféricos terminas viendo funciones Beta incompletas regularizadas.

Si alguien tiene una manera ingeniosa de abordar esto, agradecería que la compartiera. Por supuesto, referencias literarias relacionadas con esto también serían geniales.

¡Gracias!

EDITAR: Resulta que las personas han estado trabajando seriamente en coberturas esféricas óptimas. Sin embargo, estudian algo llamado "densidad de cobertura" que no estoy seguro instantáneamente cómo convertir en número de esferas.

Answer 1

Algunos avances en un límite inferior basado en un resultado sobre la densidad de cobertura:

Sea $\text{vol}$ el volumen dimensional $d-1$. La densidad de cobertura de $a \, \mathbb{S}^{d-1}$, $a > 0$ se define como $$ \nu \left( a\, \mathbb{S}^{d-1} \right) = \min \limits _{\mathcal{U}} \frac{ \sum \limits_{B \in \mathcal{U}} \text{vol} \left( B \cap a\,\mathbb{S}^{d-1} \right)}{\text{vol} \left(a\, \mathbb{S}^{d-1} \right)},$$ donde $\mathcal{U}$ es una cobertura de $\mathbb{S}^{d-1}$ con bolas unitarias. Ahora, si $a > 0$ es suficientemente grande, según el límite inferior de Coxeter-Few-Rogers (ver el documento vinculado en la EDICIÓN anterior) hay una constante $c > 0$ tal que $$\nu \left(a \, \mathbb{S}^{d-1}\right) > c (d-1).$$

Ahora, podemos cambiar las cosas. Consideremos $a=1$ y en lugar de que $a>0$ sea suficientemente grande, requerimos que $\varepsilon>0$, como en la publicación original, sea suficientemente pequeño (si he entendido correctamente, $\varepsilon < 1/2$ debería ser suficiente). Podemos normalizar el volumen dimensional $d-1$ tal que $\text{vol}\left( \mathbb{S}^{d-1}\right)=1.$ Entonces, el límite anterior se lee como $$c (d-1) < \min \limits_{\mathcal{U}} \sum \limits_{B \in \mathcal{U}} \text{vol} \left( B_\varepsilon \cap \mathbb{S}^{d-1} \right) =k_d(\varepsilon) V_{d,\varepsilon},$$ donde $k_d(\varepsilon)$ es como en la publicación original y $V_{d,\varepsilon}$ es el volumen dimensional $d-1$ normalizado del casquete esférico obtenido como una intersección $B(x,\varepsilon) \cap \mathbb{S}^{d-1}$, $x \in \mathbb{S}^{d-1}$. Entonces $$k_d(\varepsilon) >c(d-1)/V_{d,\varepsilon}.$$ La pregunta es entonces qué sucede con $V_{d,\varepsilon}$ a medida que $d$ aumenta. Intuitivamente, diría que $V_{d,\varepsilon} \to 0$, rápidamente, ya que por nuestra normalización esto es simplemente la fracción de área de la esfera cubierta por el casquete. ¡Esto parece un poco complicado de demostrar, sin embargo!