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R es la región del primer cuadrante delimitada por$$I =\int\int_Rx(1+y^2)^{\frac{-1}{2}}dA$,$y=x^2$ y$y=4$
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es decir
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Respuestas
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Se puede hacer de esta manera muy simple \begin{align} I=\int_{0}^{4}\!\int_{0}^{\sqrt {y}}\!{\frac {x}{\sqrt {{y}^{2}+1}}} \,{\rm d}x\,{\rm d}y \end {align} \begin{align} =\int_{0}^{4}\!{\frac {\int_{0}^{\sqrt {y}}\!x\,{\rm d}x}{\sqrt {{y}^{2 }+1}}}\,{\rm d}y \end {align} \begin{align} =\int_{0}^{4}\!1/2\,{\frac {y}{\sqrt {{y}^{2}+1}}}\,{\rm d}y \end {align} usando$[y^2+1 = u^2]$ \begin{align} =1/2\,\int_{1}^{\sqrt {17}}\!1\,{\rm d}u \end {align} \begin{align} \approx 1.561552813 \end{align}
Driss Alami Louati
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39
\begin{eqnarray*} % \nonumber to remove numbering (before each equation) I&=& \int_0^4\left(\int_0^{\sqrt{y}}\frac{x}{\sqrt{1+y^2}}dx\right)dy\\ &=& \int_0^4\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\left(\int_0^{\sqrt{y}}xdx\right)dy \\ &=& \frac{1}{2} \int_0^4\frac{y}{\sqrt{1+y^2}} dy\\ &=&\frac{1}{2}\left[\sqrt{1+y^2}\right]^4_0\\ &=&\frac{1}{2}\left(\sqrt{17}-1\right) \end {eqnarray *}
nfs_carboncu
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1
Como definió bien, $$ R = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^ 2: 0 \ leq x \ leq 2, x ^ 2 \ leq y \ leq 4 \ right \}. $$ So $$ I = \ int_ {R} \ frac {x} {\ sqrt {1 + y ^ 2}} \ mathrm {d} A = \ int_0 ^ 2 \ left (\ int_ {x ^ 2} ^ 4 \ frac {x} {\ sqrt {1 + y ^ 2}} \ mathrm {d} y \ right) \ mathrm {d} x $$ Aquí, usted hace un cambio de variables o marca en cualquier tabla que : $$ \ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z} \ sinh ^ {- 1} (z) = \ frac {1} {\ sqrt {1 + y ^ 2}} $$ Entonces \begin{align} I &= \int_0^2 \left[ x\sinh^{-1}(y) \right] ^{y=4}_{y=x^2} \mathrm{d}x \\ &= \int_0^2 \left( x\sinh^{-1}(4) -x\sinh^{-1}(x^2)\right) \mathrm{d}x = \\ &= \left[\frac{x^2}{2}\sinh^{-1}(4)\right]^{x=0}_{x=2} - \int_0^2x\sinh^{-1}(x^2) \mathrm{d}x \\ &= 2\sinh^{-1}(4) - \frac{1}{2}\left[x^2 \sinh^{-1} \left(x^2\right) -\sqrt{x^4+1}\right]^{x=0}_{x=2}\\ &= 2\sinh^{-1}(4) - \frac{1}{2} \left(4 \sinh ^{-1}(4)+1-\sqrt{17}\right) \\ &= \frac{\sqrt{17}-1}{2}. \end{align}
