¿Demostración de que los calibres de Coulomb y Lorenz son realmente transformaciones gauge válidas?

Question

Estoy trabajando en la obra de Griffith Introducción a la electrodinámica. En el capítulo 10, se introducen las transformaciones gauge. El autor muestra que, dado cualquier potencial magnético $\textbf{A}_0$ y los potenciales eléctricos $V_0$ podemos crear un nuevo conjunto de potenciales magnéticos y eléctricos equivalentes dados por:

$$ \textbf{A} = \textbf{A}_0 + \nabla\lambda \\ V = V_0 - \frac{\partial \lambda}{\partial t}. $$

Estas transformaciones son definido como una "transformación gauge". El autor introduce entonces dos de estas transformaciones, la de Coulomb y la de Lorenz, definidas respectivamente como:

$$ \nabla \cdot \textbf{A} = 0 \\ \nabla \cdot \textbf{A}= -\mu_0\epsilon_0\frac{\partial V}{\partial t}. $$

Aquí es donde estoy confundido. No entiendo cómo elegir la divergencia de $\textbf{A}$ para ser cualquiera de estos dos valores constituye realmente una transformación gauge, ya que cumple las condiciones de las dos ecuaciones superiores. ¿Cómo sabemos que tal $\lambda$ existe incluso para fijar la divergencia de $\textbf{A}$ a cualquiera de estos valores. Puede alguien convencerme de que tal función existe para cualquiera de las dos transformaciones, o mostrarme de alguna manera que estas transformaciones son realmente "transformaciones gauge" tal y como se definen más arriba.

Answer 1

Comentario a la pregunta (v1): Parece que el OP está mezclando, por un lado, un transformación galvánica

$$ \tilde{A}_{\mu} ~=~ A_{\mu} +d_{\mu}\Lambda $$

con, por otro lado, un condición de fijación del manómetro es decir, la elección de una galga, como por ejemplo la galga de Lorenz, la galga de Coulomb, la galga axial, la galga temporal, etc.

Una transformación de gálibo puede, por ejemplo, ir entre dos condiciones de fijación de gálibo. En términos más generales, las transformaciones gauge recorren órbitas gauge. Lo ideal es que una condición de fijación de galgas cruce todas las órbitas de galgas exactamente una vez.

Matemáticamente, dependiendo de la topología del espaciotiempo, a menudo es una cuestión no trivial si tal condición de fijación gauge está globalmente bien definida y especifica de forma única el campo gauge, cf. por ejemplo el El problema de Gribov . La existencia y la unicidad de las soluciones a las condiciones de fijación de galgas es el tema de varios posts de Phys.SE, véase por ejemplo este y este Mensajes de Phys.SE.

Answer 2

Los calibres de Coulomb y Lorenz son condiciones de fijación gauge, no transformaciones gauge. Tu pregunta sigue teniendo sentido, pero debería formularse más bien así: ¿cómo puedes demostrar que para una $\mathbf A_0$ y $V_0$ siempre existe una transformación gauge a campos $\mathbf A$ y $V$ que cumplan estas condiciones? De hecho, siempre existen muchas transformaciones de este tipo (estas condiciones no fijan completamente el calibre).

Para la condición gauge de Coulomb, necesitamos $0 = \nabla\cdot\mathbf A = \nabla\cdot(\mathbf A_0 + \nabla\lambda) = \nabla\cdot\mathbf A_0 + \nabla^2 \lambda$ . Esto es Ecuación de Poisson que se puede resolver para $\lambda$ con las funciones de Green. El caso de Lorenz es más fácil si se utilizan cuatro vectores, en cuyo caso se obtiene una versión de 3+1 dimensiones de la ecuación de Poisson.