Es

Question

Es $\sum\limits_{n=1} ^\infty |x_n||y_n| ≤ \left(\sum\limits_{n=1} ^\infty |x_n|\right)\left(\sum\limits_{n=1} ^\infty |y_n|\right)$?

Quiero utilizar esto en un ejercicio separado, pero no puedo pensar si esto es cierto y mucho menos cómo probarlo y no puedo encontrar ningún recurso para ayudar.

Answer 1

Aplicar Cauchy-Schwarz

ps

a los vectores$$(x\cdot y)^2 \leq ||x ||^2~||y||^2$ y$x =(|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_n|)$ para obtener

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Ahora usa eso

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desde$y = (|y_1|,|y_2|,\ldots,|y_n|)$ y el resultado es el siguiente.

Answer 2

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ps

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Answer 3

¿Qué tal algo más elemental?

Si$x_i=0$ para todos$i$, es fácil. Entonces asume que no.

Dejar $M = \max\{|y_1|,|y_2|,\dots\}$. Si$M=\infty$ es fácil, asume que no.

Ciertamente $\sum_{i=1}^\infty |y_i| \ge M$.

Para todos$i$, tenemos$|x_i y_i| \le |x_i|\; M$, así que $$ \ sum_ {i = 1} ^ \ infty | x_i y_i | \ le \ sum_ {i = 1} ^ \ infty \ big (| x_i | M \ big) = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ \ infty | x_i | \ right) M \ le \ sum_ {i = 1} ^ \ infty | x_i | \ sum_ {i = 1} ^ \ infty | y_i | $$