¿Esta secuencia acotada converge?

Question

La secuencia$(a_n)$ está delimitada para$n=1, 2, \dots$, de modo que

ps

para $$a_n \leq \frac{1}{2} \left(a_{n-1} + a_{n+1}\right)$. Quiero probar que la secuencia$n \geq 2$ converge.

Como me han dicho que la secuencia está limitada, intentaba demostrar que es monótona, así que podría usar un teorema conocido para afirmar que converge. Sin embargo, puedo demostrar que está limitada, pero no puedo demostrar que sea monótona. Intenté usar series y usar el hecho de que es telescópico, pero no salió nada útil. ¿Algunas ideas? ¿Voy por el camino equivocado?

Answer 1

Vamos a definir la secuencia de $b_n = a_{n + 1} - a_n$. La condición de $a_n \le \frac{1}{2}(a_{n - 1} + a_{n + 1})$ puede reordenarse $a_n - a_{n - 1} \le a_{n + 1} - a_n$, o dicho de otra manera $b_{n - 1} \le b_n$. Así que la secuencia $b_n$ es monótonamente creciente. Esto implica que $sign(b_n)$ es el tiempo constante (- o $0$ o +). Esto a su vez implica que la secuencia de $a_{n + 1} - a_1 = b_1 + ... + b_n$ finalmente es monotónica. Más precisamente, es, finalmente, la disminución de la si $sign(b_n)$ es finalmente -, es finalmente constante si $sign(b_n)$ es eventualmente $0$, es aumentar el tiempo si $sign(b_n)$ es eventualmente +. Desde la secuencia de $a_{n + 1} - a_1$ es también limitada, obtenemos que converge. Esto implica inmediatamente que la secuencia de $a_n$ converge.

Answer 2

Permítanos arreglar$k\ge 1$.

Definir $$ b_1 = a_k \\ b_2 = a_ {k +1} \\ b_ {n +1} = 2b_n - b_ {n-1} $$

Entonces puede probar que$a_{n+k-1} \ge b_n$ y que$b_n = (a_{k+1}-a_k) n + 2a_k - a_{k+1}$.

Como$a$ está delimitado,$b_n\nrightarrow+\infty$ y$a_{k}\ge a_{k+1}$.

Por lo tanto, la secuencia es monótona.