Las "propiedades" que usted menciona
- $\infty+1=\infty$
- $k\cdot\infty=\infty$ ($k>0$)
se denominan operaciones aritméticas de la extensión de los números reales. Ellos son verdaderas por definición. Con tal definición, muchos de los teoremas de análisis real puede ser enunciada de una manera clara y ordenada. Si uno está hablando sobre el conjunto $\overline{\mathbb R}$ de extendido de los números reales, entonces hay dos diferentes "infinitos": $\pm\infty$. Tenga en cuenta que $\overline{\mathbb R}$ se define como
$$
\overline{\mathbb R}=\{\mathbb R\}\cup\{-\infty,+\infty\}
$$
donde ${\mathbb R}$ denota el conjunto de números reales. En este caso, el signo + a $+\infty$ no suele ser omitido. Por otro lado, también se podría hablar acerca de la ampliación no negativo de los números reales $[0,\infty]$, que parece mucho, sobre todo en la integración de la teoría.
Sin embargo, uno debe tener cuidado de que las operaciones aritméticas de ${\mathbb R}$ puede ser sólo parcialmente extendido a $\overline{\mathbb R}$ o $[0,\infty]$. Por ejemplo, $\frac{1}{0}$ no está definido en $\overline{\mathbb R}$: no es ni $-\infty$ ni $+\infty$. Por otro lado, $\frac{1}{0}=\infty$ (así como de $\frac{1}{\infty}=0$) se utiliza en la declaración de la de Cauchy-Hadamard Teorema ya que con tal definición, el radio de convergencia de cualquier potencia de la serie $\sum a_nz^n$ puede ser escrito como
$$
R=\frac{1}{\limsup_{n}|a_n|^{1/n}}.
$$
Véase también un debate sobre la prórroga de reales en este conjunto de notas de la conferencia por Terry Tao. Aquí hay un extracto:
La mayoría de las leyes del álgebra de adición, multiplicación, y el fin de continuar en este número extenso sistema; por ejemplo, la adición y la multiplicación son conmutativas y asociativas, con el último distribución sobre el anterior, y un orden de relación ${x \leq y}$ se conserva bajo la suma o la multiplicación de ambos lados de la relación por la misma cantidad. Sin embargo, le advertimos de que las leyes de la cancelación no se aplican una vez que algunas de las variables se les permite ser infinito; por ejemplo, no podemos deducir ${x=y}$ ${+\infty+x=+\infty+y}$ o de ${+\infty \cdot x = +\infty \cdot y}$. Esto está relacionado con el hecho de que las formas ${+\infty - +\infty}$ ${+\infty/+\infty}$ son de crecimiento indeterminado (uno no puede asignar un valor a ellos sin romper mucho las reglas del álgebra). Una regla general es que si se desea utilizar la cancelación (o proxy para la cancelación, tales como la resta o la división), esto sólo es seguro si se puede garantizar que todas las cantidades involucradas son finitos (y en el caso de la multiplicación de cancelación, la cantidad que se cancela también debe ser distinto de cero, por supuesto). Sin embargo, mientras uno se evita el uso de cancelación y trabaja exclusivamente con los no-cantidades negativas, hay poco peligro en el trabajo en la ampliación del número real del sistema.
