Variación de una forma diferencial

Question

A veces, los físicos obtener el lagrangiano $$\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\mbox dA \wedge \star \mbox dA - A \wedge \star J$$ definir un funcional dada por $$S(A)=\int_{N_4} \mathcal{L}= \int_{N_4}-\frac{1}{2}\mbox dA \wedge \star \mbox dA - A \wedge \star J$$ y calcular la variación de tales funcional $$\delta S(A)(\delta A)=\delta \int_{N_4} \mathcal L = \int_{N_4} \delta \mathcal{L}=\int_{N_4}-\frac{1}{2}\delta(\mbox dA\wedge \star \mbox dA)-\delta A\wedge \star J$$ etc. and they derive Maxwell's equation $d\estrellas F=-\star J$. The functional is well defined - it's simply an integral of a 4-differential form over an oriented manifold (submanifold). But how is the variation defined? If $M$ is Riemannian manifold we've got Riemannian metric and induced inner product $(\cdot, \cdot)$ given by $$(\omega, \eta):=\int_M \left<\omega, \eta \right>\mathrm{dvol}$$ Hence we've got induced norm of a differential form and can define variation of a functional and of a differential form as its Frechet derivative. Alas, in physics, manifold is psudoriemannian manifold hence $$(\omega, \eta)=\int_M \left<\omega, \eta \right>\mathrm{dvol}$$ no es un producto interior. Nosotros no tenemos la norma de una forma diferenciada, y sin norma no podemos definir variaciones de Frechet derivados. Por otra parte! No podemos incluso definir un local del extremo de un funcional.

Puede usted decirme cómo se define la variación de tales funcional, y de una forma diferenciada? Lo hace incluso hacer sence lo que los físicos están haciendo?

Answer 1

Para cortar una larga historia corta, no se utiliza un Fréchet derivados, pero un Gâteaux derivados, que no se ejecuten en cualquiera de las cuestiones que usted plantea.

De todos modos, si $A$ es un fijo $1$-forma en $N$, entonces para cualquier $1$forma $\delta A$ de soporte compacto en el interior de $N^4$, todavía se puede definir la variación $\delta S(A)(\delta A)$ $S$ $A$ en la dirección de $\delta A$ por el Gâteaux derivados $$ \delta S(A)(\delta) = \left.\frac{d}{d\epsilon}\right\rvert_{\epsilon=0}S(A+\epsilon\delta) = \lim_{\epsilon \to 0}\frac{S(A+\epsilon\delta) - S(A)}{\epsilon}. $$ Así, en este caso, ya que $$ L(A+\epsilon\delta) = -\frac{1}{2}d(A+\epsilon \delta) \wedge \estrella d(A+\epsilon \delta) -(A + \epsilon \delta) \wedge \star J\\ = L(A) + \epsilon\left( -\tfrac{1}{2}dA \wedge \estrella d(\delta) - \tfrac{1}{2}d(\delta) \wedge \estrellas en dA -\delta \wedge \star J\right) + O(\epsilon^2)\\ = L(A) + \epsilon\left(-d(\delta) \wedge \estrellas en dA - \delta \wedge \star J \right) + O(\epsilon^2)\\ = L(A) + \epsilon\left( -\delta \wedge \left(d\!\estrella\!dA - \star J \right) -d\left(\delta \wedge \estrella dA\right) \right) + O(\epsilon^2) $$ de ello se sigue que $$ \delta S(A)(\delta) = \int_{N^4} \delta \wedge \left(-d\!\estrella\!dA - \star J\right) - \int_{N^4} d(\delta \wedge \estrellas en dA)\\ = \int_{N^4} \delta \wedge \left(-d\!\estrella\!dA - \star J\right) = \int_{N^4} g\left(\delta,-\Delta - J\right)\,dvol, $$ donde el Laplaciano $\Delta$ $1$- formas es definido (Lorenz firma) por $\Delta = \star d \! \star \! d$. Dado que la forma bilineal $\langle A,B \rangle := \int_{N^4} g(A,B)\,dvol$ aún es no degenerada, incluso en el caso de Lorenz, se sigue que $\delta S(A)(\delta A) = 0$ a todos los variaciones $\delta A$ si y sólo si el de Euler–Lagrange de la ecuación de $\Delta A = -J$ mantiene.