Contenido de volumen de una región $A \in \mathbb{R}^3$ es diferente para diferentes órdenes de integración $?$

Question

Estoy interesado en calcular el contenido de volumen de la región $A \in \mathbb{R}^3$ que está delimitada por las tres superficies siguientes : $$0<x+y+z<1$$ $$0<y+z<1$$ $$0<z<1$$

Orden de integración $x \rightarrow y \rightarrow z :$

$$\iiint_A\,dx\,dy\,dz=\int_{0}^{1}\int_{-z}^{1-z}\int_{-y-z}^{1-y-z}\,dx\,dy\,dz=1$$

Orden de integración $x \rightarrow z \rightarrow y :$

$$\iiint_A\,dx\,dy\,dz=\int_{-1}^{1}\int_{-y}^{1-y}\int_{-y-z}^{1-y-z}\,dx\,dz\,dy=2$$

Orden de integración $z \rightarrow x \rightarrow y :$

$$\iiint_A\,dx\,dy\,dz=\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}\int_{-x-y}^{1-x-y}\,dz\,dx\,dy=4$$

¿Qué clase de magia oscura es esta $?$ ¿Hago algo mal al tomar los límites de la integración $?$

Answer 1

Hay errores en los límites.

Por ejemplo, en la 2ª integral, $y$ va de $-1$ a $1$ y luego $z$ va de $-y$ a $1-y$ (para satisfacer $0\lt y+z\lt 1$ ) pero también debe mantener entre $0$ y $1$ (por $0\lt z \lt 1$ ), es decir, realmente irá entre $\max(-y, 0)$ y $\min(1-y, 1)$ .

La 3ª integral tiene aún más problemas. La primera parece correcta.