Sobre la definición de la curvatura geodésica y su relación con los conceptos de la geometría riemanniana

Question

En el papel que se pueden encontrar en este enlace: https://arxiv.org/pdf/1712.00082.pdf
hay una definición de la curvatura geodésica que no acabo de entender.
Aquí es cómo este artículo presenta:

Deje $\vec{X}(s)$ ser una curva en un 2D colector en $R^3$ que es parametrizadas por la longitud del arco $s$, como se muestra en la siguiente figura.
Elegir un vector función de $\vec{V}(s)$ viven en el espacio de la tangente en la posición $\vec{X}(s)$ y es paralely transportados a lo largo de la curva. A continuación, $k_g=\frac{d\theta}{ds}$ donde $\theta$ es el ángulo entre el vector de velocidad de la $\vec{T}=\frac{d\vec{X}(s)}{ds}$$\vec{V}(s)$, se define como la curvatura geodésica.
El documento señala que la curvatura geodésica $k_g$ refleja la desviación de la curva desde el local geodesics.

Lo que no entiendo son los siguientes:
$1)$ Desde $\vec{T}=\frac{d\vec{X}(s)}{ds}$ $\vec{V}(s)$ ambos son puestas paralelamente transportados a lo largo de la curva(ex es un vector de velocidad y más tarde se da), entonces ¿no debería el ángulo entre ellos permanecen constantes? En la geometría de Riemann, cuando nos transporte paralelo de un vector a lo largo de una curva, el ángulo con el vector velocidad de la curva de permanecer constante.
Es que el autor no puede utilizar una conexión afín que es compatible con la métrica, que es la propiedad que un afín a las necesidades de conexión con el fin de preservar las longitudes de los vectores y ángulos entre los vectores durante el transporte paralelo? (véase, por ejemplo, Do Carmo de la geometría de Riemann, p.53 de Riemann conexiones)

$2)$ ¿Cómo la curvatura geodésica se refieren a la curvatura de Riemann encontrado en la geometría de Riemann? También, es una característica intrínseca de la cantidad o extrínseco? Por último, ¿cómo generalizar a más dimensiones colectores que no estén integradas en la de mayores dimensiones colectores?

Answer 1

$1)$ Cuando se transporte paralelo de un vector a lo largo de una geodésica, su ángulo con el vector de velocidad permanece constante. Esto no es cierto a lo largo de una curva arbitraria $X:$ ya que la velocidad $\dot X$ no es necesariamente paralelo, no hay mucho que podamos decir acerca de la $\angle (\dot X, V).$ Piensa acerca de ejemplos simples en el plano Euclidiano, donde paralelo sólo significa constante.

Una cosa que debe tener en cuenta es que la curvatura geodésica $k_g$ $X$ es cero si y sólo $X$ es una geodésica de la superficie; por lo que es una buena generalización de la curvatura de una curva en el espacio Euclidiano, donde la curvatura de las medidas de desviación de una línea recta.

$2)$ De la línea geodésica curvatura puede ser definido por una curva arbitraria de Riemann colector exactamente de la misma manera, desde el transporte paralelo y mediciones de los ángulos son intrínsecos a la estructura de Riemann. Como alternativa, tan largo como $X$ es la unidad de velocidad simplemente podemos definir la curvatura geodésica como la norma de la covariante aceleración de $X$.

No creo que lanzar alrededor de las palabras intrínsecos y extrínsecos que sin más contexto es muy útil. Se podría decir que la geodésica de curvatura de la curva de $X$ en la superficie de la $M \subset \mathbb R^3$ es intrínseca a la superficie de la $M$, ya que no dependen de la elección de la (isométrica) la incorporación de la $M$ $\mathbb R^3.$ Por otro lado, al pensar en la curva como una incrustación $X : I \to M$, es una curvatura extrínseca: se le dice a usted acerca de cómo la incorporación de mapa de curvas dentro de $M$, no se trata de cualquier geometría del intervalo de $I$. Desde la curvatura geodésica se suele considerar más como una propiedad de la curva que la del colector, si tuviera que etiquetar, yo diría que es una curvatura extrínseca.

En cuanto a la relación de la curvatura de Riemann, usted no debe esperar algo directo: $k_g$ medidas de curvatura extrínseca de un 1 dimensiones del objeto, mientras que $R$ medidas de curvatura intrínseca de un objeto de mayores dimensiones. El eslabón más cercano es, probablemente, el de Gauss-Codazzi relaciones: para $M \subset N$ un submanifold de Riemann, la segunda forma fundamental es simplemente una forma de embalaje junto a la curvatura geodésica (con respecto a $N$) de las curvas en $M$. La ecuación de Gauss nos dice que la curvatura de Riemann de $M$ puede ser escrito en términos de la segunda forma fundamental.