Supongamos que$\kappa$ es un cardinal medible, con la medida normal$U$. ¿Hay una secuencia$\{ X_\alpha : \alpha < \kappa^+ \} \subseteq U$ tal que por cada$Y \in [\kappa^+ ]^\kappa$%,$\bigcap_{\alpha \in Y} X_\alpha \notin U$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Gran pregunta! La respuesta es no.
La principal realización aquí es el siguiente:
Lema: Supongamos $\kappa=\kappa^{<\kappa}$ es regular, $\kappa<\lambda$ es un cardenal, y $X=\{X_\alpha;\alpha<\lambda\}$ es una secuencia de subconjuntos de a $\kappa$. A continuación, $X$ tiene una larga (de longitud $\kappa$) que converge a uno de los elementos de $X$ (en la generalización de Baire topología del espacio en $\kappa^\kappa$).
Esto es cierto porque las $\kappa^\kappa$ tiene una base de tamaño de $\kappa$, por lo que no todos los puntos de $X$ puede ser aislado.
Ahora supongamos que $X$ es una secuencia de más de $\kappa$ muchos de los elementos de $U$. Aplicar el lema y encontrar un subsequence $Y=\{Y_\alpha;\alpha<\kappa\}$ que converge a algunos $Z\in U$. También, vamos a $C$ ser el club de los $\alpha$ para que el $\alpha$th segmento inicial de los elementos de $Y$ se ha estabilizado por el paso $\alpha$; en otras palabras, el $\alpha$ tal que $Y_\beta\cap\alpha=Z\cap\alpha$ todos los $\beta\geq\alpha$. A continuación, es sencillo ver que $Z\cap C'\cap \triangle Y\subseteq \bigcap_{\alpha\in C} Y_{\text{next}_C(\alpha)}$ (donde $C'$ es el club de límite de puntos de $C$, e $\text{next}_C(\alpha)$ es el siguiente punto de $C$ sobre $\alpha$) y por lo $\bigcap Y\in U$. Por lo $Y$ es de un tamaño de $\kappa$ subfamilia de $X$ cuya intersección se encuentra en $U$, lo que significa que $X$ no puede ser como usted requirió.
Su propiedad de medidas es similar a la regularidad, pero no es exactamente la misma. Más bien, resulta que se tiene que hacer con el Tukey pedido. Dado posets $A$$B$, dicen que $A\leq_T B$ si hay un mapa de $f\colon B\to A$ que se asigna subconjuntos densos de $B$ densos de subconjuntos de a $A$. Esto da lugar a clases de equivalencia, llamado de Tukey clases. Por $\nu$ $\lambda$ siempre hay un máximo de Tukey clase entre los $\lambda$-dirigido posets de tamaño $\nu$.
Resulta que su regularidad-como la propiedad de un ultrafilter en $\kappa$ es equivalente a la de ultrafilter representa la parte superior de Tukey clase de $\kappa$-dirigido posets de tamaño $\kappa^+$ (o $2^\kappa$, si no nos comprometemos a GCH).
Normal ultrafilters nunca se da cuenta de la parte superior de Tukey de la clase (de hecho, incluso p-punto ultrafilters y sus productos no), pero no normal se puede (dado grandes cardenales).
