Cómo resolver ecuaciones como$2^n = 9... ?$

Question

Considerar poderes naturales de $2$ y su primer $k$ dígitos.

Por ejemplo, encontrar el menor número natural ( positieve entero ) $n$ tal forma que :

$$2^n = 3...$$

Se resuelve por $2^5 = 32 $ e lo $n=5$.

El título pide

$$ 2^n = 9...$$

Creo $n=53$ es la más pequeña de la solución. Pero el punto principal aquí es cómo solucionar de manera eficiente estas preguntas.

Como una nota al margen, me pregunto por qué considerar primeros dígitos en lugar de la última ( mod ) no es visto con más frecuencia en la teoría de números.

De todos modos aquí está lo que he considerado, pero no estoy seguro de que esto es una mejora con respecto a simple búsqueda por fuerza bruta.

Deje $<*>$ denotar la parte fraccionaria. ( ejemplo $<e> = 0,71828...$ )

$2^n = 9...$

$ 10^{ log(2) n} = 9 * 10^{s} $

$ 10^{log(2) n} = 10^{s + log(9)} $

$ log(2) n - log(9) = s $

$ < log(2) n - log(9) > < log(10/9) $

$ < log(2) n - log(9) > < 1 - log(9) $

Y esto pasa en $n = 53$.

Probablemente todo esto se puede simplificar mucho y ser resuelto de manera más eficiente.

Supongo logaritmos y los dígitos de los logaritmos son la clave ??

Answer 1

Logaritmos y fracciones continuas son la clave. Si $2^n$ comienza con un $9$, tenemos que $$ 2^n = (9+\theta)\cdot 10^m , \qquad \theta\in[0,1)$$ $$ n\log(2) = m\log(10) + \log(9+\theta) $$ $$ n = m\log_2(10) +\log_2(9+\theta) $$ $$ \frac{n}{m}-\log_2(10) = \frac{\log_2(9+\theta)}{m} $$ $$ \frac{\log_2(9)}{m}\leq \frac{n}{m}-\log_2(10) \leq \frac{\log_2(10)}{m} \tag{A}$$ y podemos solucionar $(A)$ mediante el estudio de la (mejor) aproximaciones racionales de la constante $$ \log_{2}(10)=3.321928\ldots=[3; 3, 9, 2, 2, 4, 6, 2, 1, 1, 3, 1, 18, 1, 6, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 42,\ldots]. $$ Por ejemplo, mediante el truncamiento de la continuación de la fracción en el cuarto término tenemos que $0\leq \frac{196}{59}-\log_2(10)\leq \frac{1}{59^2}$, e interpolando contiguos convergents podemos encontrar todas las soluciones de $(A)$. En nuestro caso $53-15\log_2(10)$ pertenece al rango de $(\log_2(9),\log_2(10))$ y se da la solución mínima, por lo $2^{53}$ es el primer poder de $2$ cuya representación decimal comienza con el dígito $9$.