El principio que has observado está relacionado con el sistema que utilizas implícitamente: esférico, cilíndrico y en el caso de un cubo sería cartesiano.
Tenga en cuenta que necesita ambos $r$ y $h$ para el sistema cilíndrico, mientras que sólo $r$ para la esférica. El resto de las coordenadas que desaparecen en el cálculo están relacionadas con los ángulos y, como la esfera y el cilindro son simétricos, las componentes de los ángulos ya están contabilizadas. No hay cambios sobre ningún ángulo.
El cono y el tetraedro no encajan en ninguno de los tres sistemas, ya que no tienen esa forma de simetría, y aunque tu principio se aplica si lo colocas todo, por ejemplo, en el sistema cilíndrico, inevitablemente necesitarás en alguna parte de tu cálculo una nueva componente de coordenadas como la altura lateral.
En esencia, la fórmula como $\frac{1}{3}\pi r^2 h$ no se puede utilizar ya que el sistema que necesita no tiene sólo $r$ y $h$ coordenadas. A diferencia de otros ejemplos, $r$ y $h$ no tienen una información completa sobre la geometría del cono o del tetraedro, por lo que se pueden tomar sus derivadas de forma sencilla. Como estamos subiendo a un cono, $r$ cambia linealmente con $h$ y esto no se expresa en la fórmula final de ninguna manera en particular.
De nuevo, no hay nada malo en el principio, pero derivarlo para un cono puede no ser una tarea directa. Lo que puedes hacer es expresar el volumen en forma de integral (cuyo resultado es la fórmula estándar para el volumen del cono o del tetraedro) mientras que su forma mostraría claramente el principio que has observado.
Esto no es posible directamente a partir de la fórmula de volumen estándar.
Para entender el eslabón perdido, escribe el volumen del cono como
$$V=\frac{1}{3}\pi r^3\tan\alpha$$
donde $\alpha$ es el ángulo de la altura de la inclinación con respecto a la base.
Ahora escribe la superficie del cono utilizando las mismas variables. Tienes
$$S=\pi r^2(1+\frac{1}{\cos\alpha})$$
y ahí viene el problema. Cuando se aumenta $r$ usted no obtener el mismo aumento proporcional de volumen y superficie.
Sin embargo, no es sencillo saber de qué manera precisa hay que ampliar un cono para que su volumen y su superficie sigan las mismas proporciones, teniendo técnicamente la superficie como una derivada del volumen. Pero sin duda es posible. La cuestión principal es qué necesitamos expresar el volumen y la superficie para tener esto como lo querías.
Podría sugerir expresar el volumen y la superficie a través de este sistema de dos coordenadas $(u(x),v(x))$ y ver si la derivada a través de $x$ se ajusta a su necesidad. (No parece imposible tener $(r(x),h(x))$ también, es sólo mi suposición que $(u,v)$ parece más natural en cuanto al crecimiento del cono).
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Vamos a llegar al fondo de esto. Si aumentas todos los lados en $\Delta x$ como en la imagen, equivale a aumentar sólo la altura por $\Delta x(1+\frac{1}{\sin{\beta}})$ donde $\beta$ es el ángulo medio en el vértice. (Sólo hay que trasladar hacia arriba el triángulo interno por $\Delta h$ .)
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Ahora, en lugar de la derivada, utilizaremos el equivalente número doble , que no es más que introducir un símbolo $\epsilon$ para que sea $\epsilon^2=0$ . Ahora encontraremos la primera derivada de $f(x)$ es lo mismo que calcular $f(x+\epsilon)$ y utilizando la propiedad de cancelación $\epsilon^2=0$ . Reemplazamos $\epsilon = \Delta{x}$ .
(Ahora el látex me va a matar los dedos, pero hagámoslo).
$$\Delta{h}=\Delta{x}\frac{1}{\sin{\beta}}$$
Ahora la traslación total y el aumento de altura equivalente es como ya hemos mencionado:
$$\Delta{x'}=\Delta{h'}=\Delta{h}+\Delta{x}=\Delta{x}(1+\frac{1}{\sin{\beta}})$$
Ahora puedes ver en las fotos
$$\frac{\Delta{r}}{\Delta{x'}}=\tan{\beta}$$
$$\Delta{r}=\Delta{x}(1+\frac{1}{\sin{\beta}})\tan{\beta}$$
$$V+\Delta{V}=\frac{\pi}{3}(r+\Delta{r})^2(h+\Delta{h'}) = \frac{\pi}{3}(r+\Delta{x}(1+\frac{1}{\sin{\beta}})\tan{\beta})^2(h+\Delta{x}(1+\frac{1}{\sin{\beta}}))$$
A partir de aquí utilizando la regla de cancelación y $V=\frac{\pi}{3}r^2h$ tenemos
$$\Delta{V}=\frac{\pi}{3}(r^2\Delta{x}(1+\frac{1}{\sin{\beta}})+2r\Delta{x}(1+\frac{1}{\sin{\beta}})h\tan{\beta})$$
Como nos interesa la derivada parcial $\frac{\Delta{V}}{\Delta{x}}$ tenemos
$$\frac{\Delta{V}}{\Delta{x}} = \frac{\pi}{3}(r^2 + \frac{r^2}{\sin{\beta}}+2rh\tan{\beta} + \frac{2r}{\cos{\beta}})$$
Utilizando propiedades obvias $\frac{r}{l}=\sin{\beta}$ y $\frac{r}{h}=\tan{\beta}$ tenemos
$$\frac{\Delta{V}}{\Delta{x}} = \frac{\pi}{3}(r^2 + rl+2rr + 2rl)$$ o como usted preguntó
$$\frac{\Delta{V}}{\Delta{x}} = S = \pi r^2 + \pi rl$$
Lo anterior está justificando esta parametrización que lleva a su respuesta de forma más o menos directa:
$$V=\frac{\pi}{3}r(x)^2h(x)$$ $$r(x)=x(1+\frac{1}{\sin{\beta}})\tan{\beta}$$ $$h(x)=x(1+\frac{1}{\sin{\beta}})$$
$$V=\frac{\pi}{3\tan{\beta}}r(x)^3$$
$$\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\pi}{\tan{\beta}}r(x)^2 r'(x) = \frac{\pi}{\tan{\beta}}r(x)^2 (1+\frac{1}{\sin{\beta}})\tan{\beta}=\pi r^2 + \pi rl=S$$
Aumentando el sabor, $x$ es obviamente el radio del círculo inscrito (por supuesto es el radio de la esfera inscrita cuando miramos el cubo). Esto indica el sistema que buscábamos: el centro del sistema es el centro de la circunferencia inscrita y los ejes van perpendiculares a la base y al lado.
