Factorización

Question

Pregunta: Factor %#% $ #%

Pensó un poco y se dio cuenta de que los coeficientes son competencias de $$P(x)=x^7+3x^6+9x^5+27x^4+81x^3+243x^2+729x+2187$, $3$ es un factor. Teniendo ese factor hacia fuera, vemos que el séptico es igual a $x=-3$ $me pregunto, sin embargo, si hay una manera más rápida de factor porque el método original era bastante tedioso.

Answer 1

ps

Answer 2

Por el bien de una alternativa, menos inteligente enfoque: fingir para que no se note el patrón de aumento de los poderes de $3$, la raíz de $x=-3$ también se puede encontrar por fuerza bruta utilizando el racional de la raíz teorema. Evidentemente, el polinomio no tiene raíces positivas, por lo que es suficiente para probar la negativa divisores de $2187=3^7$, lo cual se encuentra $-3$ bastante rapidez.

Luego, dividiendo por el factor de $x+3$ utilizando (por ejemplo) polinómica de la división se obtiene:

$$ P(x)=(x+3)(x^6 + 9 x^4 + 81 x^2 + 729) $$

El sextic que queda factorizado es un cúbicos en $y=x^2$:

$$ Q(y) = y^3+9y^2+81y+729 $$

El uso racional de la raíz teorema de nuevo, $y=-9$ es una raíz, entonces dividiendo por $y+9$ le da:

$$ Q(y) = (y+9)(y^2+81) $$

Así que al final,$P(x)=(x+3)Q(x^2)=(x+3)(x^2+9)(x^4+81)\,$.

Answer 3

ps

Answer 4

Se sabe a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\ldots+ab^{n-2}+b^{n-1}) $$. $$ % Aquí $n=8$, $a=x$, $b=3$ y obtener $x^8-3^8$, que es fácil de factorizar.