Buscando otra manera de calcular esta integral.

Question

Calcular:

$$\mathcal{J}=\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\ln ^2x\frac{\arccos ^3\!\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}}\text{d}x$$

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Mi intento: $$\int_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\ln ^2x\frac{\arccos ^3\!\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}}\text{d}x=\int_0^{\frac{\pi}{3}}{t^3\ln ^2\sen t\text{d}t=\frac{1}{16}}\int_0^{\frac{2\pi}{3}}{t^3\ln^2 \left( \sin \frac{t}{2} \right)}\text{d}t=\frac{1}{16}\mathcal{I} \\ \begin{align*} \mathcal{I}&=\int_0^{\frac{2\pi}{3}}{t^3\ln ^2\left( 2\sin \frac{t}{2} \right)}\text{d}t-2\ln 2\int_0^{\frac{2\pi}{3}}{t^3\ln \left( 2\sin \frac{t}{2} \right)}\text{d}t-\ln ^22\int_0^{\frac{2\pi}{3}}{t^3}\text{d}t \\ &=-\text{Ls}_{6}^{\left( 3 \right)}\left( \frac{2\pi}{3} \right) +2\ln\text{2Ls}_{5}^{\left( 3 \right)}\left( \frac{2\pi}{3} \right) +\frac{4\pi ^4\ln ^22}{81} \end{align*} $$ Por lo tanto, de acuerdo a la fórmula \begin{align*} \zeta \left( n-k,\left\{ 1 \right\} \!^k \right) &-\sum_{j=0}^k{\frac{\left( -i\tau \right) \!^j}{j!}}\text{Li}_{2+k-j,\left\{ 1 \right\} ^{n-k-2}}\left( \text{e}^{i\tau} \right) \\ &=\frac{i^{k+1}\left( -1 \right) \!^{n-1}}{\left( n-1 \right) !}\sum_{r=0}^{n-k-1}{\sum_{m=0}^r{\left( \begin{array}{c} n-1\\ k,m,r-m\\ \end{array} \right)}}\times \left( \frac{i}{2} \right) \!^r\left( -\pi \right) \!^{r-m}\text{Ls}_{n-\left( r-m \right)}^{\left( k+m \right)}\left( \tau \right) \end{align*} tenemos $$\begin{align*} \text{Ls}_{6}^{\left( 3 \right)}\left( \frac{2\pi}{3} \right) =&-\frac{946\pi ^6}{76545}-\frac{16\pi ^3}{27}\text{Gl}_{2,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) -\frac{8\pi ^2}{3}\text{Gl}_{3,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) +8\pi \text{Gl}_{4,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) \\ &+12\text{Gl}_{5,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) +6\zeta ^2\left( 3 \right) \end{align*} \\ \text{Ls}_{5}^{\left( 3 \right)}\left( \frac{2\pi}{3} \right) =\frac{8\pi ^3}{27}\text{Cl}_2\left( \frac{2\pi}{3} \right) -4\pi \text{Cl}dimm_4\left( \frac{2\pi}{3} \right) -\frac{16\pi ^2}{27}\zeta \left( 3 \right) +\frac{242}{27}\zeta \left( 5 \right) $$ y llegamos \begin{align*} \mathcal{I}=&\frac{946\pi ^6}{76545}+\frac{4\pi ^2\ln ^22}{81}+\frac{16\pi ^3}{27}\text{Gl}_{2,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) +\frac{8\pi ^2}{3}\text{Gl}_{3,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) -8\pi \text{Gl}_{4,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) \\ &-12\text{Gl}_{5,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) +\frac{16\ln 2\pi ^3}{27}\text{Cl}_2\left( \frac{2\pi}{3} \right) -8\ln 2\pi \text{Cl}_4\left( \frac{2\pi}{3} \right) -6\zeta ^2\left( 3 \right) \\ &-\frac{32\ln 2\pi ^2}{27}\zeta \left( 3 \right) +\frac{848\ln 2}{27}\zeta \left( 5 \right) \end{align*} Así \begin{align*} \mathcal{J}=\frac{1}{16}\mathcal{I}=&\frac{473\pi ^6}{612360}+\frac{\pi ^3}{27}\text{Gl}_{2,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) +\frac{\pi ^2}{6}\text{Gl}_{3,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) -\frac{\pi}{2}\text{Gl}_{4,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) \\ &-\frac{3}{4}\text{Gl}_{5,1}\left( \frac{2\pi}{3} \right) +\frac{\pi ^3\ln 2}{27}\text{Cl}_2\left( \frac{2\pi}{3} \right) -\frac{\pi \ln 2}{2}\text{Cl}_4\left( \frac{2\pi}{3} \right) +\frac{\pi ^4\ln ^22}{324} \\ &-\frac{2\pi ^2\ln 2}{27}\zeta \left( 3 \right) -\frac{3}{8}\zeta ^2\left( 3 \right) +\frac{121\ln 2}{108}\zeta \left( 5 \right) \end{align*}

Notaciones: \begin{align*} &\text{Cl}_{a_1,...,a_k}\left( \theta \right) =\begin{cases} \Im \text{Li}_{a_1,...,a_k}\left( \text{e}^{i\theta} \right) \,\,\text{if}\,\,a_1+\cdots +a_k\,\,\text{even}\\ \Re \text{Li}_{a_1,...,a_k}\left( \text{e}^{i\theta} \right) \,\,\text{if}\,\,a_1+\cdots +a_k\,\,\text{odd}\\ \end{casos} \\ &\text{Gl}_{a_1,...,a_k}\left( \theta \right) =\begin{cases} \Re \text{Li}_{a_1,...,a_k}\left( \text{e}^{i\theta} \right) \,\,\text{if}\,\,a_1+\cdots +a_k\,\,\text{even}\\ \Im \text{Li}_{a_1,...,a_k}\left( \text{e}^{i\theta} \right) \,\,\text{if}\,\,a_1+\cdots +a_k\,\,\text{odd}\\ \end{casos} \\ &\text{Li}_{a_1,.\!\:.\!\:.\!\:,a_k}\left( z \right) =\sum_{n_1>\cdots >n_k>0}{\frac{z^{n_1}}{n_{1}^{a_1}\cdots n_{k}^{a_k}}} \\ &\zeta \left( a_1,.\!\:.\!\:.\!\:a_k \right) =\text{Li}_{a_1,.\!\:.\!\:.\!\:,a_k}\left( 1 \right) \\ &\text{Ls}_{n}^{\left( k \right)}\left( \sigma \right) =-\int_0^{\sigma}{\theta ^k\ln ^{n-1-k}\left| 2\sin \frac{\theta}{2} \right|}\,\text{d}\theta \end{align*}

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Lo que me pregunto es que hay otra manera de calcular la integral,complejo o real método.

Gracias!

Answer 1

La integración por partes \begin{align} I&=\int_0^{\pi/3}t^3\ln^2\sin t\,dt\\ &=\frac{\pi^4}{324}\ln^2\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\int_0^{\pi/3}t^4\frac{\cos t}{\sin t}\ln \sin t\,dt\\ &=\frac{\pi^4}{324}\ln^2\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt{3}/2}\arcsin^4 u\ln u\frac{du}{u} \end{align} En este documento de la serie se dan para el entero de los poderes de la función arcsen. En particular, \begin{equation} \arcsin^4 u=\frac{3}{2}\sum_{k=2}^\infty\left\lbrace\sum_{m=1}^{k-1}\frac{1}{m^2} \right\rbrace\frac{\left( 2u \right)^{2k}}{\binom{2k}{k}k^2} \end{equation} Entonces \begin{align} I&=\frac{\pi^4}{324}\ln^2\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}\sum_{k=2}^\infty\left\lbrace\sum_{m=1}^{k-1}\frac{1}{m^2} \right\rbrace\frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}k^2} \int_0^{\sqrt{3}/2}u ^{2k-1}\ln u\,du\\ &=\frac{\pi^4}{324}\ln^2\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{4}\sum_{k=2}^\infty\left\lbrace\sum_{m=1}^{k-1}\frac{1}{m^2} \right\rbrace\frac{2^{2k}}{\binom{2k}{k}k^2}\left[\frac{3^k}{2^{2k+1}k}\ln\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3^k}{2^{2k+2}k^2}\right]\\ &=\frac{\pi^4}{324}\ln^2\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{8}\sum_{k=2}^\infty\left\lbrace\sum_{m=1}^{k-1}\frac{1}{m^2} \right\rbrace\frac{3^k}{\binom{2k}{k}k^3}\left[\ln\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2k}\right] \end{align} Podemos derivar una expresión con un polygamma función como \begin{equation} \sum_{m=1}^{k-1}\frac{1}{m^2}=\frac{\pi^2}{6}-\psi(1,k) \end{equation} Otros exponentes de la función arccos pueden ser tratados de la misma manera, como expresiones generales para el entero de los poderes de la función arcsen se dan en el papel.

Answer 2

Desde $\left(0,\frac{2\pi}{3}\right)$ tenemos $$-\log\left(2\sin\tfrac{\theta}{2}\right)=\sum_{n\geq 1}\frac{\cos(n\theta)}{n}$ $ todo el problema se reduce a evaluar $$ \frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi/3} \theta^3 \cos(n\theta)\,d\theta,\qquad \frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi/3}\theta^4 \cot\tfrac{\theta}{2} \cos(n\theta)\,d\theta $ $ y Resumen $n\geq 1$. Esto es posible por la integración por partes. En particular, supongo que es posible escribir $\mathcal{J}$ en términos de valores de la función de #% de #% % y $\zeta$, donde $\text{Re}/\text{Im}\,\text{Li}_s(\omega)$ es una tercera raíz de la unidad, o simplemente $\omega$, donde $L(\chi_3,s)$ es un % de carácter de Dirichlet $\chi_3$.