Ayuda con teoría del número en relación con la fórmula de Rydberg

Question

Una pregunta se le preguntó sobre la Física de la sección sobre dos líneas atómicas de hidrógeno que se superponen. Descuidar la resolución de los instrumentos, la fórmula de Rydberg es:

$$\dfrac{1}{\lambda} = R(\dfrac{1}{n_f^2}-\dfrac{1}{n_i^2})$$

La longitud de onda de la emisión de la línea de es $\lambda$ y el recíproco es conocido como el número de onda.

La pregunta es ¿pueden dos líneas diferentes líneas de tener exactamente el mismo número de onda?

Esto se reduce a un Diophantine problema.

$$ \dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2} = \dfrac{1}{n_3^2}-\dfrac{1}{n_4^2}$$

donde $n_1, n_2, n_3$ $n_4$ son todos los enteros positivos, $n_1 < n_2$, $n_3 < n_4$ y $n_1 \ne n_3$.

Así que o $n_1 > n_3$ o $n_1< n_3$. Podemos suponer que $n_1< n_3$.

Answer 1

Tenemos $\frac{1}{n_1^2} + \frac{1}{n_4^2} = \frac{1}{n_2^2} + \frac{1}{n_3^2}$. Multiplicando $\text{lcm}(n_1, n_2, n_3, n_4)^2$ en ambos lados, vemos que hay un bijection entre primos relativos soluciones de $(n_1, n_2, n_3, n_4)$ de la Rydberg ecuaciones y relativamente primos soluciones de $(x,y,z,w)$ satisfacción $x^2 + y^2 = z^2 + w^2$.

Por lo masivo de generar "Rydberg cuádruples" usted necesita para encontrar $N \in \mathbb N$ que puede ser escrito como la suma de dos positivos plazas por al menos 2 formas. Este tipo de pregunta es bastante clásica:

Deje $\Sigma(N) = |\{x, y \in \mathbb Z \ | \ x^2 + y^2 = N\}|/4$. Sabemos que es $N_1, N_2$ son relativamente primos, $\Sigma(N_1N_2) = \Sigma(N_1)\Sigma(N_2)$. Y para un primer $p$, $m>0$,

$$ \Sigma(p^m) = \begin{cases} 1, &\text{if %#%#%;}\\ 0, &\text{if %#%#% and %#%#% is odd;}\\ 1, &\text{if %#%#% and %#%#% is even;}\\ m+1, &\text{if %#%#%}. \end{casos} $$

Espero que esto le da algo para empezar. Algunas pequeñas soluciones se $p=2$, lo que da $p\equiv 3 \pmod 4$; y $m$, lo que da $p\equiv 3 \pmod 4$.