¿Qué relación binaria ni es simétrica, ni asimétrica ni antisimétrica?

Question

Creía que era la relación $\varnothing$, pero la respuesta en el libro de texto que estoy usando no menciona esto como una respuesta posible. No entiendo por qué no puede ser la respuesta. ¿Podría alguien explicar?

Answer 1

Para que una relación $R$ sea simétrica, cada par ordenado $(a,b)$ en $R$ también tendrá $(b,a)\in R$.

Para que una relación sea asimétrica, cada par ordenado $(a,b)\in R$ no tiene $(b,a)\in R$.

Para que una relación sea antisimétrica, si ambos $(a,b)$ y $(b,a)$ están en $R$ entonces $a=b$.

Así que queremos que $R$ sea tal que para algún $a\neq b$, $(a,b)$ y $(b,a)$ estén ambos en $R$, esto asegura que $R$ no es ni asimétrica ni antisimétrica; pero al mismo tiempo queremos que algunos $(c,d)\in R$ estén tales que $(d,c)\notin R$, ya que esto asegurará que $R$ no sea simétrica.

En cualquier caso, necesitamos testigos en $R$ para demostrar que no es simétrica ni asimétrica. Por lo tanto, no puede estar vacía.

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Dejaré los detalles agotadores de escribir dicha $R$ en tus manos.

Answer 2

$\varnothing$ es el (único) ejemplo de una relación que es simétrica, asimétrica y antisimétrica (lo opuesto a lo que estás buscando).

P. ej. una relación $R$ no es simétrica si existe un par ordenado $\langle a,b\rangle$ con $\langle a,b\rangle\in R$ y $\langle b,a\rangle\notin R.

Esto evidentemente no es cierto para $R=\varnothing$ (no contiene pares ordenados) por lo que concluimos que $\varnothing$ es simétrico.

De igual forma se puede demostrar que $\varnothing$ es asimétrico y antisimétrico.

Las implicaciones involucradas son verdaderas vacuamente.

Answer 3

En la relación vacía, es imposible que $xRy$, de modo que siempre que $xRy$ es verdadero que $yRx$ - tienes una afirmación sobre elementos del conjunto vacío, y no hay tales elementos para hacer que la declaración sea falsa.

Answer 4

Ejemplo:

S = {a,b,c}
R = { (a,b), (a,c), (c,a) }

Entonces:
1. R no es simétrica, porque aRb es verdadero, pero bRa es falso.
2. R no es asimétrica, porque aRc y cRa.
3. R no es antisimétrica, porque aRc y cRa, pero a<>c.