En el campo del procesamiento de señales digitales he visto a personas usando palabras
Señales complejas y frecuencias negativas. Por ejemplo, en el espectro de FFT.
¿Realmente tienen un significado significativo en el dominio del tiempo o es simplemente parte de la simetría matemática?
¿Cómo visualizas la frecuencia negativa en el dominio del tiempo?
Las FFT funcionan tratando las señales como bidimensionales, con partes reales e imaginarias. ¿Recuerdas el círculo unitario? Las frecuencias positivas son cuando el fasor gira en sentido contrario a las agujas del reloj y las frecuencias negativas son cuando el fasor gira en sentido de las agujas del reloj.
Si eliminas la parte imaginaria de la señal, se perderá la distinción entre las frecuencias positivas y negativas.
Por ejemplo (fuente):
Si trazaras la parte imaginaria de la señal, obtendrías otro senoide, desfasado con respecto a la parte real. Observa cómo si el fasor girara en la otra dirección, la señal superior sería exactamente la misma pero la relación de fase entre la parte imaginaria y la parte real sería diferente. Al desechar la parte imaginaria de la señal, no tienes forma de saber si una frecuencia es positiva o negativa.
Muy buena ilustración. Creo que vale la pena subrayar que si solo piensas en las frecuencias como ondas senoidales, entonces no puedes tener frecuencias negativas, porque si giras en la dirección opuesta, la mitad superior de la ilustración se ve igual. Por eso, cuando haces una FFT de señales reales (al establecer arbitrariamente la parte compleja en 0), las frecuencias negativas en el resultado son un espejo de las frecuencias positivas.
También una buena pregunta de seguimiento para cualquiera que quiera hacerla: "¿Por qué el FFT trata las señales como 2-dimensionales?"
Bueno, digamos que tengo una señal de onda senoidal (frecuencia = F) muestreada a una frecuencia Fs. ¿Cómo puedo obtener la parte real e imaginaria de ella? ¿Tiene algo que ver con la corriente o voltaje desplazados en fase? Puede que esté totalmente equivocado en este punto ... ¡pero necesito más información para entenderlo claramente en sentido práctico!
En el dominio del tiempo, una frecuencia negativa se representa mediante una inversión de fase.
Para una onda coseno, no hace ninguna diferencia, ya que es simétrica alrededor del cero de tiempo de todos modos. Empieza en 1 y cae a cero en cualquier dirección.
$$cos(t) = cos(-t)$$
Sin embargo, una onda seno comienza con un valor de cero en el tiempo cero y aumenta en la dirección positiva, pero disminuye en la dirección negativa.
$$sin(t) = -sin(-t)$$
No puedo discutir con las matemáticas, por lo que esto no es incorrecto per se, pero creo que se pierde abordar lo que probablemente es el conocimiento que falta en la pregunta: cuadratura, representación compleja de señales. En la práctica, tratamos con señales con desfases de fase arbitrarios de todos modos, y en ese caso, simplemente revertir la fase (como al intercambiar la polaridad de la alimentación en una antena) definitivamente no te da frecuencias negativas.
Pienso que esta respuesta lo capta correctamente. Simplemente quería comentar que el problema no es que simplifiques el seno mediante un desplazamiento de fase. El problema es que no puedes simplificar el par (coseno, seno) mediante un desplazamiento de fase.
"En el dominio del tiempo, una frecuencia negativa está representada por una inversión de fase. ¿Y de repente, contar eventos periódicos por segundo da un valor negativo? Creo que esta afirmación no está de acuerdo con la definición del término 'frecuencia'."
Aquí hay un enfoque ligeramente diferente. Veamos qué función periódica tiene una transformada de Fourier exactamente con frecuencia \$-1\$.
Es la función \$t \mapsto e^{-2\pi \mathrm{i} t} = \cos(-2\pi t) + \mathrm{i}\sin(-2\pi t) = \cos(2\pi t) - \mathrm{i}\sin(2\pi t) \$ para \$ t \in [0,1]\$.
Nota que esta función tiene la misma parte real que la función \$t \mapsto e^{2\pi \mathrm{i}t}\$. Esta última función tiene solo un componente de frecuencia: la frecuencia \$1\$.
La razón por la que estas frecuencias negativas aparecen al considerar solo señales reales es porque proporcionan una forma más sencilla de describir los autovalores estrictamente complejos de la acción del círculo unitario en su espacio de funciones.
Editar: Para ampliar el comentario anterior, para realizar un análisis de frecuencia lo que realmente deseamos hacer es tomar el espacio de funciones de valores reales en \$[0,1]\$, \$F([0,1], \mathbb{R})\$ y poder expresar cualquier función \$f \in F([0,1], \mathbb{R})\$ en términos de alguna base natural de \$F([0,1], \mathbb{R})\$. Estamos de acuerdo en que realmente no importa si comenzamos nuestro período en \$0\$ a \$1\$ o en \$1/2\$ a \$3/2\$, por lo que realmente desearíamos que esta base se comporte bien con respecto al operador de desplazamiento \$f(x) \mapsto f(a+x)\$.
El problema es que, con adjetivos apropiados, \$F([0,1], \mathbb{R})\$ no es una suma directa de funciones que se comportan bien con respecto al desplazamiento. Es una suma directa (completa) de espacios vectoriales de dos dimensiones que se comportan bien con respecto al operador de desplazamiento. Esto se debe a que la matriz que representa la transformación \$f(x) \mapsto f(a+x)\$ tiene autovalores complejos. Estas matrices estarán diagonalizadas (en una base apropiada) si complejizamos la situación. Por eso estudiamos \$F([0,1], \mathbb{C})\$ en su lugar. Sin embargo, al introducir números complejos, existe una penalización: obtenemos un concepto de frecuencias negativas.
Todo esto es un poco abstracto, pero para ver concretamente de lo que estoy hablando, considera mis dos funciones favoritas: $$\cos(2\pi t) = \frac{1}{2}(e^{2\pi \mathrm{i} t} + e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$ $$\sin(2\pi t) = \frac{1}{2 \mathrm{i}}(e^{2\pi \mathrm{i} t} - e^{-2\pi \mathrm{i} t})$$
Considera el desplazamiento por \$\frac{1}{4}\$, \$s(f(x)) = f(x+\frac{1}{4})\$. $$s(\cos(2\pi t)) = -\sin(2 \pi t)$$ $$s(\sin(2\pi t)) = \cos(2 \pi t)$$
El espacio vectorial real generado por \$\cos(2 \pi t)\$ y \$\sin(2 \pi t)\$ es un espacio vectorial de dos dimensiones de funciones que se conserva con \$s\$. Podemos ver que \$s^2 = -1\$, por lo que \$s\$ tiene autovalores \$\pm \mathrm{i}\$
Este espacio de funciones de dos dimensiones no se puede descomponer en espacios propios para \$s\$ a menos que lo complejifiquemos. En este caso, los autovectores serán \$e^{2\pi \mathrm{i} t}\$ y \$e^{-2 \pi \mathrm{i}t}\$.
En resumen, comenzamos con dos frecuencias positivas pero para diagonalizar la acción de \$s\$ tuvimos que agregar la función de frecuencia negativa \$e^{-2 \pi \mathrm{i} t}\$.
"¿Cómo visualizas la frecuencia negativa en el dominio del tiempo?"
Interpreto esta pregunta de la siguiente manera: ¿Existen frecuencias negativas en la realidad?
Si esta interpretación es correcta (y cumple con el núcleo de la pregunta) mi respuesta es simplemente: NO - no existen.
Más que eso (para ser un poco "sofisticado") - "frecuencias" no pueden existir porque no son una cantidad física. En su lugar, tenemos ondas sinusoidales con algunas propiedades específicas - y una de esas propiedades es el número de períodos por segundo. Y eso es lo que llamamos "frecuencia". Y este número no puede ser negativo.
Por lo tanto, la introducción de señales con "frecuencias negativas" puede tener muchas ventajas pero es una herramienta puramente abstracta y teórica que permite simplificaciones de expresiones/descripciones matemáticas.
Una excelente manera de visualizar frecuencias negativas es modular la señal original. Supongamos que tienes una onda seno con frecuencia \$\omega_0\$ (en radianes):
$$x(t)=\sin(\omega_0t)$$
El espectro de esta señal tiene un pico en \$\omega=\omega_0\$ y otro en la frecuencia negativa \$\omega=-\omega_0\$.
Al modular la señal \$x(t)\$ básicamente desplazas el espectro original por la frecuencia portadora \$\omega_c>\omega_0\$:
$$y(t)=x(t)\cos(\omega_ct)=\sin(\omega_0t)\cos(\omega_ct)=\frac{1}{2}[\sin(\omega_c+\omega_0)t-\sin(\omega_c-\omega_0)t]$$
Ahora el pico original negativo en \$-\omega_0\$ se ha vuelto visible después de desplazarlo hacia arriba por \$\omega_c\$. Ahora está en \$\omega=\omega_c-\omega_0\$. El pico en frecuencias positivas ahora está en \$\omega=\omega_c+\omega_0\$.
El OP preguntó específicamente sobre la visualización en el dominio del tiempo, pero tú hablas solo sobre el dominio de la frecuencia y el espectro de la señal.
@JoeHass Bueno, la señal \$y(t)\$ está en el dominio del tiempo, y aquí puedes ver ambos componentes de frecuencia.
Creo que estás perdiendo el punto. Todo lo que veo es una ecuación donde uno de los términos puede tener una frecuencia negativa. Creo que el OP se pregunta cómo se vería una frecuencia negativa en un osciloscopio.
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Por favor, echa un vistazo a esta pregunta de DSP SE - dsp.stackexchange.com/questions/431/…
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Esta pregunta es mucho más fácil cuando se tiene un sólido dominio de la representación compleja (I/Q) de las señales. Ver Constelaciones en Comunicación Digital y ¿Qué son el I y el Q en el muestreo en cuadratura?.