Área de la región gris.

Question

¿Cómo puedo calcular el área de la región sombreada $S_x$?

Estoy tratando de utilizar la semejanza de triángulos para encontrar alguna relación entre los lados, pero las ecuaciones son cada vez más complicado.

En la imagen parece que $r_1$ es igual a $r_2$, pero no lo es. Y así, con $r_1 \neq r_2$, se hace más difícil.

En Geogebra vi que la solución tiene para $r_1 \neq r_2$.

Solución: $3r_1 r_2$

Answer 1

Sugerencia.

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Solución.

$$\left.\begin{align} |\overline{US}| = |\overline{UV^\prime}| \implies r + s + u = w + v \\ |\overline{VR}| = |\overline{VU^\prime}| \implies r + s + v = w + u \end{align}\right\rbrace \quad\implica\quad u = v \quad\text{y}\quad w = r + s \etiqueta{$\star$}$$

De $(\star)$, se puede derivar el triángulo de congruencias se indica en la Pista. Sin embargo, que la derivación parece requerir una relación que lleva directamente a la solución de rompecabezas, por lo que el congruencias parecen ser un trabajo extra. (Esto me hace pensar que me estoy perdiendo algo "obvio" acerca de los triángulos. Sea lo que sea ...)

La clave de la relación viene a nosotros por cortesía de Pitágoras:

$$\begin{align} |\overline{OU}|^2 + |\overline{OV}|^2 = |\overline{UV}|^2 &\implies (u+r)^2 + (u+s)^2 = (r+s)^2 \\[2pt] &\implies u^2+ur+us=rs \\[2pt] &\implies ( u + r )( u + s ) = 2 r s \\[4pt] &\implies |\triangle OUV| = rs \end{align}$$

Así, el área de la región de destino es $(2r)(2s) - rs = 3 rs$. $\square$

Answer 2

Área $S_x=[OFCG]-[L_1L_2O]=4r_1r_2-\tfrac14\,|L_1L_2|^2\sin2\theta$.

Supongamos sin pérdida de generalidad que $|O_1T_1|=r_1\ge r_2=|O_2T_2|$. \begin{align} |PO_1|&=r_1-r_2 ,\\ |O_1O_2|&=\sqrt2\,(r_1+r_2) ,\\ |T_1T_2|&=|PO_2| .\\ \text{Let }\quad \angle O_2O_1P&=\phi ,\quad \angle O_1QP =\tfrac\pi2 .\\ \text{Note that }\quad PO_1&\perp L_1L_2,\quad PQ\perp L_1O,\quad O_1Q\perp L_2O,\quad \\ \triangle PO_1Q &\sim \triangle L_1L_2O ,\quad \angle PO_1Q =\angle L_1L_2O=\theta .\\ \text{Then }\quad \theta&=\tfrac34\pi-\phi ,\\ \phi& =\arccos\left(\frac{|PO_1|}{|O_1O_2|}\right) =\arccos\left(\frac{r_1-r_2}{\sqrt2(r_1+r_2)}\right) ,\\ |L_1T_2|=|L_1T_4|&=r_2+|L_1O| ,\\ |L_2T_1|=|L_2T_3|&=r_1+|L_2O| ,\\ |L_1T_2|+|L_2T_1|&= |T_1T_2|+|L_1L_2| \\ &=r_1+r_2+|L_1O|+|L_2O| \tag{1}\label{1} ,\\ |L_1O|&=r_1+|L_1T_1| ,\\ |L_2O|&=r_2+|L_2T_2| ,\\ |L_1O|+|L_2O| &=r_1+r_2+|L_1T_1|+|L_2T_2| \\ &=r_1+r_2+|T_1T_2|-|L_1L_2| \tag{2}\label{2} . \end {Alinee el}

Combinación de \eqref{1} y \eqref{2} resulta en\begin{align} |L_1L_2|&=r_1+r_2 . \end {Alinee el}

\begin{align} S_x&=4r_1r_2-\tfrac14\,|L_1L_2|^2\sin2\theta \\ &=4r_1r_2-\tfrac14\,(r_1+r_2)^2 \sin(\tfrac32\pi-2\phi) \\ &=4r_1r_2-\tfrac14\,(r_1+r_2)^2 (-\cos2\phi) \\ &=4r_1r_2-\tfrac14\,(r_1+r_2)^2 (1-2\,\cos^2\phi) \\ &=4r_1r_2-\tfrac14\,(r_1+r_2)^2 \left(1-\frac{(r_1-r_2)^2}{(r_1+r_2)^2}\right) \\ &=4r_1r_2-r_1r_2=3r_1r_2 . \end {Alinee el}