Constante de cambio de la integración

Question

Así, a veces cambia la constante de integración, y me confunde un poco cuando y por qué lo hace. Por ejemplo, tenemos una primitiva simple como $$\int \frac{1}{x} dx $$ and we know that the result is $$\log|x| + C$$ and the domain is $$x\in\mathbb R \backslash \{0\} $$ If we want to show all the solutions, we need to do something like $ $\begin{cases} \log x+C_1 & x>0\\ \log(-x)+C_2 & x<0 \end{casos} $$

¿Tenemos que cambiar la constante cada vez que hay una brecha en el dominio o es sólo cuando la expresión cambia? Por ejemplo, $$ \int \frac {x^5} {x^2-1} dx$$ which is $$ \frac {1} {2} \log |x^2-1| + \frac {x^4} {4} + \frac {x^2}{2} + C$$ and the domain is $$x \in \mathbb R \backslash \{-1,1\}$$ When we want to write all the solutions, is it something like $$ \begin{cases} \ \frac {1} {2} \log (x^2-1) + \frac {x^4} {4} + \frac {x^2}{2} + C_1 & x>1\\ \frac {1} {2}\log (-x^2+1) + \frac {x^4} {4} + \frac {x^2}{2} + C_2 & -1<x<1\\ \frac {1} {2} \log (x^2-1) + \frac {x^4} {4} + \frac {x^2}{2} + C_3 & x<-1 \end{cases}$$ or is it that since the the first and last expression are the same they only have one constant associated? Meaning, the solutions are actually $% $ $ \begin{cases} \ \frac {1} {2} \log (x^2-1) + \frac {x^4} {4} + \frac {x^2}{2} + C_1 & x \in \mathbb R \backslash [-1, 1]\\ \frac {1} {2}\log (-x^2+1) + \frac {x^4} {4} + \frac {x^2}{2} + C_2 & -1<x<1\\ \end{cases}$

Answer 1

"Necesitamos cambiar la constante cada vez que hay una brecha en el dominio [...]?" La respuesta es sí: el genérico significa C localmente constante función es decir, una constante de la función en intervalos. Los valores en intervalos disjuntos pueden ser diferentes.

Answer 2

Exponer un poco sobre la respuesta de Catalin Zara:

Su respuesta debe dar todos los antiderivatives posibles; es decir, si se conecta en cualquier combinación particular de constantes las constantes genéricas $C_1, C_2, \dots$, se obtiene una función que, cuando distinga, le da el integrando. Entonces la respuesta con tres constantes es más general que la respuesta con dos constantes; y usted puede comprobar eso si $C_1$ y $C_3$ son diferentes, usted todavía obtener una función con derivada $\frac{x^5}{x^2-1}$

Answer 3

Ya que el problema específico que se plantea ha sido bien resuelto a través de Y. Forman y Catalin Zara respuestas, me gustaría añadir algunas más "theoritic" información acerca de la manera de definir el $\int f(x)dx$ y de que la llamada constante de integración.

Deje $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ ser el conjunto de todas las funciones diferenciables $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, así: $$\mathcal{D}(\mathbb{R}):=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}|f\text{ is differentiable}\}$$

Ahora, consideremos la siguiente relación en $\mathcal{D}(\mathbb{R})$: $$f\sim g\Leftrightarrow f'(x)=g'(x)$$ Está claro que $\sim$ es una relación de equivalencia, ya que:

• $f\sim f\Leftrightarrow f'(x)=f'(x)$ por cada $f\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$,
• $f\sim g\Rightarrow g\sim f$, ya que el $f'(x)=g'(x)\Leftrightarrow g'(x)=f'(x)$,
• $f\sim g\ \land\ g\sim h\Rightarrow f\sim h$, ya que el $f'(x)=g'(x)\ \land g'(x)=h'(x)\Rightarrow f'(x)=h'(x)$.

Así, considerar ahora el cociente de espacio: $$E:=\mathcal{D}(\mathbb{R})/\sim$$

Desde $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ es un espacio lineal sobre $\mathbb{R}$, la misma que se aplica para $E$.

Ahora, vamos a examinar que es el elemento cero de $E$: $$[0]=\{f\in\mathcal{D}(\mathbb{R})|f'=0\}$$ Ya que en nuestro caso $f$'s de dominio es siempre $\mathbb{R}$, $[0]=[c]$ para cada $c\in\mathbb{R}$.

Ahora, vamos a $f,g\in\mathcal{D}(\mathbb{R})$. Entonces tenemos que: $$f\sim g\Leftrightarrow[f]=[g]\Leftrightarrow [f]=[g]+[0]\tag{$\estrella de$}$$ Ahora, también vamos a introducir la siguiente notación: $$\int f(x)dx:=[f]$$ Luego, con la por encima de la notación $(\star)$ se convierte en: $$f\sim g\Leftrightarrow\int f(x)dx=\int g(x)dx+c,\ \text{for some }c\in\mathbb{R}$$ desde $[0]=[c]$ por cada $c\in\mathbb{R}$, lo que nos recuerda la relación en cuestión.

Ahora, podemos, de una manera similar definir $\mathcal{D}(A)$, para cada $A\subseteq\mathbb{R}$ sobre la cual se puede definir la diferenciación (por ejemplo, finito sindicatos de abrir los intervalos). Pero, en ese caso, como se ha mencionado, debemos tener en cuenta, a $[0]$ se define como sigue: $$[0]=\{f\in\mathcal{D}(A)|f'=0\}$$ con la idea de que esto tiene en $A$. Por lo tanto, si $A=(0,1)\cup(1,2)$, cada función que es constante en $(0,1)$ $(1,2)$ por separado - no necesariamente con el mismo valor en ellos - pertenece a $[0]$. Así, también tenemos que: $$f\sim g\Leftrightarrow\int f(x)dx=\int g(x)dx+h,\ h\in[0]$$ Ahora bien, es claro que el caso general, las demandas de elegir diferentes constantes en cada componente conectado del dominio $A$.

Answer 4

Aquí es una compactación de 1-línea de Μάρκος de Βασίλης' respuesta $\ddot\smile$

Puede ser demostrado que en cada subintervalo del dominio de la función original, cualquier derivado de los dos se diferencia por una constante aditiva, pero constantes para diferentes sub intervalos muy bien pueden ser diferentes.