¿Cómo resolver algebraicamente $\frac{1}{x} < 5$ desigualdad para obtener dos soluciones?

Question

Dada la desigualdad:

$\frac{1}{x} < 5$

Con el fin de encontrar una solución, normalmente sería multiplicar ambos lados por $x$:

$1 < 5x$

Luego divido por $5$

$\frac{1}{5} < x$

Para obtener la solución: $x > \frac{1}{5}$.

Ahora, la cosa es que las soluciones son realmente dos: $x > \frac{1}{5}$ y $x < 0$

¿Cómo voy a llegar a esta conclusión algebraico? Parece que no soy capaz de obtener la segunda solución ($x < 0$).

¡Gracias!

Answer 1

En cuenta que al pasar de $\dfrac{1}{x} < 5$ $1 < 5x$, están asumiendo que $x > 0$. Ves que obtenga asumiendo $x > 0$, $x > \dfrac{1}{5}$.

Ahora Supongamos que $x < 0$. Entonces $\dfrac{1}{x} < 5 \implies 1 > 5x\implies x < \dfrac{1}{5}$ (la desigualdad de los bancos). Pero, recuerde, supone que $x < 0$. Por lo tanto, si $x < \dfrac{1}{5}$ y $x < 0$, sucintamente podemos escribir esto como $x < 0$.

Answer 2

Si multiplicas con $x^2$ consigue $x<5x^2$ lo $x(5x-1)>0$ % que $$x\in (-\infty, 0)\cup ({1\over 5},\infty)$$

Answer 3

ps

Answer 4

debe hacer trabajo de caso, si suponemos $x>0$ entonces obtenemos $$\frac{1}{5}<x$ $ en el otro caso el $$x<0$$ we get $% $ $\frac{1}{5}>x$

Answer 5

$x>0$

$$\frac{1}{x} < 5\implies x>\frac15$$

$x<0$

$$\frac{1}{x} < 5\implies x\frac{1}{x} > 5x\implies x<\frac15$$