Evalúe la integral definida:
$$\int_{0}^{3} (x^2+1) d[x]$$
$[x] -$ es la parte entera de la $x$.
¿Es correcta la solución?
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zoli
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El resultado depende de la definición de "integración con respeto a $[x]$."
Una posible definición de la integral en juego es la siguiente: $[x]$ se define una medida de la línea real. La medida se concentra en los enteros. Por ejemplo $[x](\{2\})=1$, $[x](\{1,2\})=2$, pero $[x]((1,2))=0$. Así $$\int_A f(x)d[x]=\sum_{i\in A}f(i).$$ En nuestro caso especial
$$\int_0^3 x^2+1\ d[x]=\int_{[0,3]}x^2+1\ d[x]=1+2+5+10=18.$$
Si nos referimos a la integración de más de $[0,3]$ cuando escribimos $\int_0^3$.
O el resultado es $17$ si tenemos en cuenta $(0,3]$ cuando escribimos $\int_0^3$.
La interpretación como un Lebesgue-Stieltjes integral
De acuerdo a la definición formal de la Lebesgue-Stieltjes integral el resultado es $17$. Por qué? Porque la medida generada por el "integrato" se define como sigue. Primero definimos la medida de intervalo de la siguiente manera:
$$\mu([s,t))=[t]-[s].$$
...
Interpretación como una de Riemann-Stieltjes integral:
Por la definición que necesita una partición de la integración de dominio $$\mathbb P=\{x_0=0<x_1<x_2<\cdots<x_n=3\}$ $ , a continuación, la aproximación de la suma es
$$S(\mathbb P,x^2+1,[x])=\sum_{i=0}^{n}(c_i^2+1)([x_{i+1}]-[x_i])$$ donde $c_i\in [x_{i+1},x_i].$ La de Riemann-Stieltjes se dice que el ser existente si (a grandes rasgos) el límite de $S$ existe cuando la longitud de incluso el más amplio intervalo en la partición anterior tiende a cero.
El límite existe y es igual a $17$ ( $18$ ) debido a que el "integrador de las diferencias" $[x_{i+1}]-[x_i]$ son todos ceros, si no hay ningún número entero en el intervalo de $[x_i,x_{i+1}]$ y que son todo lo contrario. Dentro de $[0,3]$ hay cuatro enteros: $0,1,2,3$. $0$, sin embargo, incluso si es en $[0,x_1]$, no cuenta porque el correspondiente "integrador de incremento" $[x_{1}]-[0]=0$ (si la partición es lo suficientemente densa), mientras que $3$ contribuye desde $[3]-[x_{n-1}]=1$ (si la partición es lo suficientemente densa. Para contribuir $1$$2$.
El OP formalmente se aplica el método de integración por parte con la siguiente opción $$\frac{d[x]}{dx}=v', x^2+1=u, \text{ and }\int_0^3 uv'\ dx=[uv]_0^3-\int_0^3u'v\ dx.$$ A partir de aquí, siguiendo el proceso formal, obtenemos $$\int_0^3 x^2+1\ d[x]=\big[[x](1+x^2)\big]_0^3-2\int_0^3x[x]\ dx.$$
Hasta ahora tan bueno. Pero entonces no es una señal de error (marcados en rojo) y, a continuación, no puedo seguir el razonamiento.
Existe el método:
$$\int_0^3(x^2+1)\ d[x]=(3^2+1)[3]-(0^2+1)[0]-\int_0^3 [x]\ df(x)=$$ $$=30-\int_0^3[x]2x\ dx=30-2\left(\int_0^1 0\ x\ dx+\int_1^2 \ 1\ x \ dx+\int_2^3\ 2 x\ dx\right)=$$ $$=30-2\left(0+\frac32+5\right)=17.$$
(Pheww!)
Ahora, sé que esto es lo que el OP lo hizo. Pero había una señal de error, por desgracia. Gracias a la OP; he aprendido mucho.
Mohammad Riazi-Kermani
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