Evaluar la integral definida: $\int_{0}^{3} (x^2+1) d[x]$

Question

Evaluar la integral definida:

$$\int_{0}^{3} (x^2+1) d[x]$$

$[x] -$ es la parte entera de $x$.

¿Es correcta la solución?

Answer 1

El resultado depende de la definición de "integrar con respecto a $[x]$".

Una posible definición de la integral en juego es la siguiente: $[x]$ define una medida en la recta real. La medida está concentrada en los enteros. Por ejemplo $[x](\{2\})=1$, $[x](\{1,2\})=2$, pero $[x]((1,2))=0$. Así que $$\int_A f(x)d[x]=\sum_{i\in A}f(i).$$ En nuestro caso especial

$$\int_0^3 x^2+1\ d[x]=\int_{[0,3]}x^2+1\ d[x]=1+2+5+10=18.$$

Si queremos decir integrar sobre $[0,3]$ cuando escribimos $\int_0^3$.

O el resultado es $17$ si tenemos en mente $(0,3]$ cuando escribimos $\int_0^3$.

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Interpretación como una integral de Lebesgue-Stieltjes

Según la definición formal de la integral de Lebesgue-Stieltjes, el resultado es $17$. ¿Por qué? Porque la medida generada por el "integrador" se define de la siguiente manera: Primero definimos la medida para un intervalo de la siguiente manera:

$$\mu([s,t))=[t]-[s].$$

...

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Interpretación como una integral de Riemann-Stieltjes:

Según la definición necesitamos una partición del dominio de integración $$\mathbb P=\{x_0=0

$$S(\mathbb P,x^2+1,[x])=\sum_{i=0}^{n}(c_i^2+1)([x_{i+1}]-[x_i])$$ donde $c_i\in [x_{i+1},x_i].$ La integral de Riemann-Stieltjes se dice que existe si (hablando aproximadamente) el límite de $S$ existe cuando la longitud del intervalo incluso el más amplio en la partición tiende a cero.

El límite existe y es igual a $17$ (no a $18$) porque las diferencias del "integrador" $[x_{i+1}]-[x_i]$ son todas cero si no hay ningún entero en el intervalo $[x_i,x_{i+1}]$ y son todas uno de lo contrario. Dentro de $[0,3]$ hay cuatro enteros: $0,1,2,3$. Sin embargo, $0$, incluso si está en $[0,x_1]$, no cuenta porque el correspondiente "incremento del integrador" $[x_{1}]-[0]=0$ (si la partición es lo suficientemente densa), mientras que $3$ contribuye ya que $[3]-[x_{n-1}]=1$ (si la partición es lo suficientemente densa). Así que contribuyen $1$ y $2$.

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El OP aplica formalmente el método de integración por partes con la siguiente elección $$\frac{d[x]}{dx}=v', x^2+1=u, \text{ y }\int_0^3 uv'\ dx=[uv]_0^3-\int_0^3u'v\ dx.$$ A partir de aquí, siguiendo el proceso formal, obtenemos $$\int_0^3 x^2+1\ d[x]=\big[[x](1+x^2)\big]_0^3-2\int_0^3x[x]\ dx.$$

Hasta aquí todo bien. Pero luego hay un error de signo (marcado en rojo) y luego no puedo seguir el razonamiento.

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Integración por partes

El método existe:

$$\int_0^3(x^2+1)\ d[x]=(3^2+1)[3]-(0^2+1)[0]-\int_0^3 [x]\ df(x)=$$ $$=30-\int_0^3[x]2x\ dx=30-2\left(\int_0^1 0\ x\ dx+\int_1^2 \ 1\ x \ dx+\int_2^3\ 2 x\ dx\right)=$$ $$=30-2\left(0+\frac32+5\right)=17.$$

¡Uf!

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Ahora, sé que esto es lo que hizo el OP. Pero desafortunadamente hubo un error de signo. Gracias al OP; aprendí mucho.

Answer 2

Su respuesta debería haber sido un número real. Tenga en cuenta que la parte entera $[x]$ es constante en $(0,1)$, $(1,2)$ y $(2,3)$ lo que resulta en $d[x]=0$ en estos intervalos. Por lo tanto, el valor de su integral definida es $0$.