Alternando la función de zeta prime

Question

La pregunta anterior: la Alternancia de primer serie

He estado buscando en la siguiente función, definida en $\Re(s)>0$.

$$\mathcal P^\star(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{(p_n)^s}$$

donde $p_n$ $n$th prime.

Esta función es claramente analítica en $\Re(s)>0$, y así me fue bastante curioso para probar y obtener una analítica de extensión a $s=-1$.

He intentado calcular unos valores, y tengo el siguiente diagrama:

Y utilizando una aproximación lineal con los dos puntos más cercanos a $0$, me sale

$$\mathcal P^\star(-1)\stackrel?\approx0.95$$

Por supuesto, esto es bastante ingenuo, y por Taylor exapnding alrededor de $0.1$, tengo

$$\mathcal P^\star(s)\approx0.459-0.369(s-0.1)+0.690(s-0.1)^2-1.773(s-0.1)^3+1.490(s-0.1)^4$$

Los primeros polinomios de Taylor gráficamente:

lo que sugiere un polo/singularidad en o antes de las $s=-1$.

Para la comparación, aquí está el 4to grado del polinomio de Taylor con los puntos marcados anteriormente:

Podemos aproximar $\mathcal P^\star(-1)$? Y ¿existe una singularidad para mi función en la región de $[-1,0)$?

Answer 1

$$\sum_{n=1}^\infty p_{2n-1}^{-s}-p_{2n}^{-s}= \sum_{n=1}^\infty s \int_{p_{2n-1}}^{p_{2n}} t^{-s-1}dt \\=\sum_{n=2}^\infty s\frac{p_{2n}-p_{2n-1}}{p_{2n}^{s+1}}+\mathcal{O}(s^2 n^{-s-2})=s\sum_{n=2}^\infty \frac{g(2n)}{(2n \log n)^{s+1}}+\mathcal{O}(s^2\zeta(\Re(s)+2))$$ Dirichlet series with positive coefficients have a singularity at $ s=\sigma$ their abscissa of convergence, here at $s=0$.

Casi todo lo que podemos decir es conjetural. Bajo modelo % de Cramer $g(n) $es una secuencia de distribuciones exponenciales independientes de media y % % de varianza $\sqrt{}$% #%, así $\ \ \log n$ y con $\sum_{n \le x} \frac{g(2n)}{\log 2 n} = x + \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon})$ % $ $a_s(n) = \log (2n)(2n \log n)^{-s-1}$

y el término de error causa muchas singularidades en $$\sum_{n=2}^\infty \frac{g(2n)}{(2n \log n)^{s+1}} = \sum_{n=2}^\infty (\sum_{m=1}^n \frac{g(2m))}{\log 2m}) (a_s(n)-a_s(n+1))\\=\sum_{n=2}^\infty n\log(2n) (s+1) a_{s+1}(n)+ \mathcal{O}((s+1)n^{-s-2+1/2+\epsilon})$.