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Question

Tenía curiosidad por saber lo que el siguiente límite:

$$\lim_{x\downarrow-1}\sum_{n=1}^\infty p_nx^{n-1}=\lim_{x\downarrow-1}(2+3x+5x^2+7x^3+11x^4+\dots)$$

donde $p_n$ $n$th prime.

Yo se representan los primeros 6 o así sumas parciales:

pero convergen terriblemente lento. WolframAlpha no parece tener mucho de una pista, y con algunos numérica de pruebas, parece que este límite puede ir a $\infty$, lo cual es bastante extraño, ya que sugiere pares e impares indexado de los números primos no son asintóticamente igualmente espaciados.

Mediante el uso de algunas asíntotas en la tasa de crecimiento de la $n$th prime, también se puede fácilmente deducir que

$$\sum_{n=1}^\infty p_nx^{n-1}$$

converge absolutamente para $|x|<1$.

Podemos probar este límite se va a la $\infty$ o que existe? Y si existe, cuál es su valor?

Answer 1

Desde $p_n=\Theta(n\log n)$ por la versión débil de la PNT, podemos calcular la quería límite a través de una convolución con un aproximado de identidad:

$$ \lim_{x\to 0^+} \sum_{n\geq 1}p_n(x-1)^{n-1} = \lim_{n\to +\infty} \sum_{n\geq 1}p_n \int_{0}^{+\infty}n(x-1)^{n-1} e^{-nx}\,dx $$ donde $$ \int_{1}^{+\infty}n(x-1)^{n-1}e^{-nx}\,dx = \frac{n!}{e^n n^n}\approx\frac{\sqrt{2\pi n}}{e^{2n}}$$ no da problemas, pero $$ \int_{0}^{1}n(x-1)^{n-1} e^{-nx}\,dx=(-1)^{n-1}\int_{0}^{n}\left(1-\frac{x} {n}\right)^{n-1}e^{-x}\,dx $$ se comporta como $\frac{(-1)^n}{2}$ para grandes valores de $n$. En particular, la existencia de la querían límite depende de la Cesàro summability de la secuencia de $\{(-1)^n p_n\}_{n\geq 1}$, por lo tanto en la distribución del primer lagunas.

El resultado de Ping Ngai Chung y Shiyu Li mencionado en MO implica que la quería límite no existe.