Supongamos $F$ es un campo finito de característica $p$ ($p$ un primer). Demostrar $\exists u \in F$ tal que $F = \mathbb{F}_{p}(u)$. Aquí, $\mathbb{F}_{p}$ denota el campo con $p$ elementos.
Aquí está lo que yo sé:
$F^{\times}$, el grupo de menores de multiplicación que consiste en $F - \{ 0 \}$, es cíclica desde $F$ es un campo finito. También sé que desde $F$ es de carácter $p$ que $\mathbb{F}_{p}$ es un subgrupo de $F$.
Ahora, si dejamos $u$ ser el generador de $F^{\times}$, entonces cada elemento distinto de cero puede ser escrito como $u^{m}$ algunos $m \in \mathbb{N}$. Esto demuestra que $F \subseteq \mathbb{F}_{p}(u)$. También, $F$ es el campo que contiene $u$$\mathbb{F}_{p}$, por lo que debe contener el más pequeño campo que contiene ambos de estos, que es $\mathbb{F}_{p}(u)$. Por lo tanto, tenemos $\mathbb{F}_{p}(u) = F$.
Así que, si puedo probar la reclamación, entonces ¿cuál es mi pregunta? Así, hemos demostrado a los conjuntos son iguales. Pero no hemos de probar que son isomorfos. Son ellos? ¿Cuál es la homomorphism? ¿Usted acaba de asumir las operaciones en $\mathbb{F}_{p}(u)$ $\mathbb{F}$ comportan de la misma?
Demostrar que dos conjuntos son iguales no es suficiente para probar la estructura subyacente es el mismo, y esto es lo que yo estoy dudando. Es el campo de $\mathbb{F}_{p}(u)$ el mismo que el campo de $F$?
