¿En cálculo, qué preguntas el ingenuo pedir que los sabios no pueden contestar?

Question

La teoría de los números es conocido por ser un campo en el que muchas de las preguntas que puede ser entendido por los alumnos de secundaria han desafiado a los más grandes matemáticos de los intentos de responder a ellos.

El cálculo no es conocido por ser un campo, por lo que yo sé. (Por ahora, vamos a asumir que esto significa que los temas básicos incluidos en el formal y el estancamiento de la convencional de primer año de curso de cálculo.)

¿Cuáles son

1. el más prominente y
2. el más fácil de entender

preguntas que puede ser entendido por aquellos que conocen los conceptos aprendidos en el primer año de cálculo y cuyas soluciones son desconocidos?

Yo no estoy buscando problemas que las personas que sólo saben de primer año de cálculo puede resolver, pero sólo para las preguntas que ellos puedan entender. Sería aceptable para incluir preguntas que sólo puede ser comprendido en un poco menos de la lógica rigurosa de los estudiantes de ese nivel.

Answer 1

1) convergencia de la serie Flint Hills

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2 n} $$

se desconoce. Uno también puede pedir la misma pregunta con diferentes exponentes - ver este artículo para más detalles.

2) estrechamente vinculado (aunque $\liminf$ por lo general no está cubierto en primer curso de cálculo, es no demasiado de un tramo): si o no

$$ \liminf_{n \to \infty} inspeccionara \sin n| = 0$$

Answer 2

Mientras que sin duda tiene un aspecto teórico número, considero constante $\gamma de Euler = \lim\limits_{n\to\infty}\left (\sum_ {k = 1} ^ n\frac1k - \ln n\right) $ que sobre el tema para un curso de cálculo de primer año (ya que posee límites, logaritmos e incluso una serie bastante simple) y una de las preguntas más fundamentales que uno puede preguntar, "¿es este número racional o no?" — sigue siendo completamente abierto.

Answer 3

Un resultado que puede sorprender a la mayoría de los estudiantes de cálculo es que no hay ningún algoritmo para las pruebas de igualdad de expresiones reales elementales. Este entonces implica la indecidibilidad de otros problemas, por ejemplo, integración. Estos son resultados clásicos de Daniel Richardson. Vea abajo para las formulaciones precisas.

$\qquad\qquad$

Answer 4

Un cálculo común problema es demostrar que la serie de $1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots$ converge. Más difícil es encontrar la suma:

$A$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.$$

Mucho más misterioso es el de la serie:

$A$1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots = 1.2020569\ldots$$

Después de un par de cientos de años de búsqueda, parece improbable que no es una simple forma cerrada. Este número se conoce como Apéry constante o sólo $\zeta(3)$.

Answer 5

Muchas Integrales indefinidas, colocar el niño del cartel siendo $\int \exp(-x^2)\,dx$ fácil de preguntar, duro responder (a menos que usted cuente la función de error como respuesta, pero en este caso que parece dar un nombre a lo desconocido).