¿Cómo se demuestra que la corriente de una simetría rota espontáneamente genera una partícula?

Question

Me cuesta argumentar que, tras la ruptura espontánea de una simetría continua de un lagrangiano de campo, las fluctuaciones locales en torno al vacío puedan interpretarse como partículas (sin remitirse a analogías de la física de la materia condensada). Encontré un tratamiento que afirmaba que, cuando la simetría no se rompe, la corriente correspondiente aniquila el vacío

$$J^{\mu} | 0 \rangle = 0$$

mientras que después de la ruptura espontánea de la simetría, la corriente crea un estado fuera del vacío con algún momento $k^{\mu}$

$$J^{\mu} | 0 \rangle = k^{\mu} | k \rangle $$

Mi pregunta es por qué esta segunda igualdad se mantiene sólo después de la ruptura espontánea de la simetría.

Answer 1

Se demuestra mediante el llamado teorema de Goldstone, que creo que se discute en todos los libros de QFT. En cualquier caso, la imagen intuitiva la proporciona la propia definición de lo que es una simetría (continua) rota espontáneamente.

Básicamente voy a contar lo que dice el libro de Tom Banks (pero, de nuevo, cualquier libro de QFT lo contiene; el segundo volumen de Weinberg tiene, por ejemplo, una discusión muy agradable sobre ello). Una simetría continua (exacta) siempre deja invariante la acción (es decir, las leyes dinámicas). Esto da lugar a una corriente conservada $J_\mu$ con $\partial_\mu J^\mu=0$ en las ecuaciones del movimiento. Por otro lado, si la simetría se rompe espontáneamente, las funciones de correlación como $$\langle0|T \phi_{i_1}(x_1)\phi_{i_2}(x_2)\ldots|0\rangle $$ no son invariantes bajo la acción de la simetría porque no todos los generadores de simetría aniquilan el vacío. Esto sólo es posible si $$ \int d^4x \partial_\mu \langle0|T J^\mu(x)\Phi(y)|0\rangle\neq 0 $$ para algún operador local (posiblemente compuesto) $\Phi(x)$ cargado bajo la simetría para cada corriente rota. Tomando la transformada de Fourier de esta expresión se obtiene que $$ k_\mu \Gamma^\mu(k)=k^2 \Gamma(k)\neq 0 \qquad \mbox{for } k\rightarrow 0 $$ lo que significa que el $J^\mu-\Phi$ la función de dos puntos tiene un polo simple $1/k^2$ en $k=0$ . En otras palabras, las corrientes generan partículas sin masa al actuar sobre el vacío, $J^\mu(x)|0\rangle\sim e^{ikx}k^\mu|k\rangle$