La caracterización de BV funciones a través de la integral de Stieltjes

Question

Deje $J=[a,b]$ ser un intervalo compacto y $f,g:J\rightarrow\mathbb{R}$ dos delimitadas las funciones. Decimos que $\int f dg$ existe (y es igual a $A$) si y sólo si las siguientes condiciones se tiene: para cualquier $\epsilon>0$, existe una partición de $P_\epsilon$ $J$ tal que para cualquier refinamiento $P\supset P_\epsilon$, cualquier Riemann-Stieltjes suma con relación a $(f,P,g)$ se encuentra en el $\epsilon$-barrio de $A$.

En Hildebrandt, T. H. (1938), "Definiciones de Stieltjes de las Integrales de Riemann Tipo", La American Mathematical Monthly, 45 (5): 265-278, se afirma sin pruebas que

Si $\int f dg$ existe para cada $f(x)$ continua en $a\leq x\leq b$, $g(x)$ debe ser de variación acotada.

¿Cómo podemos probar tal afirmación? Debemos usar la pieza-sabio funciones lineales, alternando entre 0 y 1 se asemeja a paso las funciones?? No veo cómo debo proceder.. cualquier sugerencia será bienvenida.

Answer 1

Aquí es una prueba de lo que tenía en mente. Es un poco largo, probablemente hay un período mucho más corto de prueba utilizando un poderoso teorema de análisis funcional, como representación de Riesz teorema para firma de medidas, por ejemplo.

Tomar algo de la función $g:[0;1]\to \mathbb R$ a no ser de variación acotada. Esto significa que tere existe algún $x\in I=[0;1]$ tal que para cada a $\varepsilon>0$ la restricción de $g$ $[x-\varepsilon;x+\varepsilon]$no es de variación acotada. Para probar esto, supondremos que el opuesto, es cierto, para todos los $x$ hay algo de $\varepsilon>0$ de manera tal que la restricción de $g$ $]x-\varepsilon;x+\varepsilon[$es de variación acotada. Esto nos da una cobertura de $[0;1]$ por la apertura de los conjuntos, por compacity que podemos extraer de un número finito de sub-couvering de $I$ por la apertura de los intervalos de $I_1,\ldots , I_n$. La variación total de $g$ $I$ es menor que la suma de las variaciones de $g$ durante los intervalos de $I_i$, que es finito. Esto contradice el hecho de que $g$ no es de variación acotada y demuestra la existencia de una $x$. Por otra parte debemos tener que toda restricción de $g$ $[x;x+\varepsilon]$no es de variación acotada o que de cualquier restricción de $g$ $[x-\varepsilon;x]$no es de variación acotada (que finalmente puede tener ambos). De lo contrario, la restricción de $g$ algunos $[x-\varepsilon;x+\varepsilon] $ sería de limitada variaciones.

Sin pérdida de generalidad (y para simplificar las notaciones) podemos asumir que $x=0$ y que toda restricción de $g$ algunos $[0,\varepsilon]$ no es de variación acotada. Ahora toma un número finito de puntos de $0<t^1_1<\ldots <t^1_{n(1)}\leq 1$ tal que $t_1^1<\frac 1 {2^1}$ $$\sum_{i=1}^{n(1)-1} |g(t^1_{i+1})-g(t^1_i)|\geq 1.$$ Observe que hemos $t^1_1>0$, así como una colección de puntos que existe debido a $g$ no es de variación acotada sobre $[0;1]$. Después nos vamos a tomar un número finito de puntos de $0<t^2_1<\ldots< t^2_{n(2)}<t^1_1$ tal que $t^2_1<\frac{1}{2^2}$ y $$\sum_{i=1}^{n(2)-1} |g(t^2_{i+1})-g(t^2_i)|\geq 1.$$ De nuevo este conjunto de punto existe porque $g$ no es de variación acotada sobre $[0;t_1^1]$. Repeting este proceso ad vitam eternam obtenemos una secuencia infinita de números de $$1\geq \tau_1>\tau_2>\ldots >\tau_n>\ldots=1\geq t^1_{n(1)}>\ldots>t^1_1>t^2_{n(2)}>\ldots>t^2_1>\ldots t^n_m>\ldots$$ (Nos acaba de pedir el $t^i_j$ y rebautizado como $\tau_k$) Esta secuencia $(\tau_i)_{i\in \mathbb N}$ es estrictamente decreciente, tiene límite de $0$ (debido a $t^i_i<2^{-i}$) y tenemos $$\sum_{i=1}^\infty |g(\tau_i)-g(\tau_{i+1})|=\infty. $$

Ahora estamos listos para la construcción de la $f$ tal que $\int f \mathrm d g $ no existe. Primero usamos un lema nos dice que si $(a_n)_n$ es una secuencia de números reales positivos tales que $\sum a_n=+\infty$ entonces existe alguna secuencia $(\varepsilon_n)_n$ de los números reales positivos con límite de $0$ tal que $\sum a_n \varepsilon_n= +\infty$. La aplicación de este lema a la secuencia de $(|g(\tau_{n+1})-g(\tau_{n})|)_n$ obtenemos una secuencia $(\varepsilon_n)_n$ con límite de $0$ tal que $$\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n\mathrm{sgn}\big(g(\tau_{n+1})-g(\tau_{n})\big)\big(g(\tau_{n+1})-g(\tau_{n})\big)=+\infty$$ donde $\mathrm{sgn}(x)$ $1$ si $x>0$, $-1$ si $x<0$ $0$ lo contrario. Definimos $f$ por $f(0)=0$, $f(\tau_n)=\varepsilon_n\mathrm{sgn}\big(g(\tau_{n+1})-g(\tau_{n})\big)$ para cada $n$ y unimos estos puntos afín funciones. Por construcción tenemos $$ \sum_{n=1}^\infty f(\tau_n)\big(g(\tau_{n+1})-g(\tau_{n})\big)=+\infty $$ por lo $\int f\mathrm d g$ no existe. Sólo tenemos que verificar que el $f$ es de hecho continua : $f$ es continua en todos los $[\varepsilon,1]$ porque es un modelo lineal por tramos en estos intervalos. $f$ es también continua en $0$ porque $\lim \varepsilon_n =0$$f(0)=0$. Esto a su vez implica que $f$ es continuo en el $[0;1]$ y termina la prueba.

Answer 2

Esta es una aplicación directa de la Acotamiento Uniforme Teorema.

Para cualquier partición $P = (x_0,x_1, \ldots,x_n)$ $[a,b]$ se define el operador lineal $T_P:C([a,b]) \to \mathbb{R}$ por

$$T_Pf = \sum_{j=1}^nf(x_j)(g(x_j) - g(x_{j-1}).$$

Aquí $C([a,b])$ es considerado como el espacio de Banach equipado con el supremum norma $\|f\|_\infty.$

Dado que todos los $f$ es integrable con respecto a $g$, tenemos

$$\lim_{\|P\| \to 0} T_Pf = \int_a^b f \, dg.$$

y, por lo tanto, para cada $f$ existe $M_f > 0$ tal que $\sup_P|T_P f| \leqslant M_f$.

Por el Acotamiento Uniforme Teorema hemos uniforme de acotamiento en el operador de la norma y

$$\sup_{f \in C([a,b]), \|f\|_\infty = 1} \sup_P|T_P f| \leqslant M < \infty.$$

Para cualquier partición $P$ podemos construir una continua a trozos función lineal) $f$ tal que $f(x_j) = 1 $ si $g(x_j) - g(x_{j-1}) \geqslant 0$ $f(x_j) = -1$ si $g(x_j) - g(x_{j-1}) < 0.$, con Lo que

$$\sum_{j=1}^n |g(x_j) - g(x_{j-1})| \leqslant M < \infty$$

y $g$ debe ser de variación acotada.