Cómo determinar la convergencia/divergencia de esta suma?
$$\sum_{n=2}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln(n)}$$
¿Por qué no puedo llegamos a la conclusión de que la suma de $\sum_{k=2}^\infty (-1)^k\frac{k}{p_k}$, $p_k$ $k$- ésimo primo, converge, ya que $p_k \sim k \cdot \ln(k)$ ?
La Alternancia de Serie de la Prueba, que es un caso especial de la Prueba de Dirichlet, garantiza la convergencia de la primera serie.
Para aplicar la prueba de Dirichlet a $k/p_k$, uno tendría que mostrar que la secuencia de $\{k/p_k\}$ se ha acotado la variación. Es decir, $$ \sum_{k=1}^\infty\left|\frac{k}{p_k}-\frac{k+1}{p_{k+1}}\right|<\infty\etiqueta{1} $$ No sé si $(1)$ es cierto.
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