¿Qué determina cuándo un modelo interior es "canónico"?

Question

He leído en varios sitios que L, el universo construible, es el menos canónico modelo interno . Grigor Sargsyan explica en sus diapositivas que L es canónica debido a $\mathbb{R}^L$ ser $\Sigma_2^1$ y para cada número real $x$ , $x\in L$ si $x$ es $\Delta_2^1$ en un ordinal contable. ¿Por qué esto equivale a ser canónico? ¿O es que el concepto de ser canónico no está definido con rigor?

Gracias de antemano.

Answer 1

Modelos internos canónicos $M$ son definibles sin parámetros y, de hecho, son definibles "localmente", es decir, existe una fórmula $\psi_M$ tal que $M=\{x\mid \psi_M(x)\}$ . (Por supuesto, en $\mathsf{ZF}$ y sus extensiones, las clases son definibles, pero permitimos parámetros establecidos en general).

Para $L$ esta "localidad" es verdadera en el sentido más fuerte posible, ya que corre la definición de $L$ dentro de cualquier modelo de conjunto transitivo de la teoría de conjuntos suficiente $N$ nos da como salida el conjunto $L_\alpha$ , donde $\alpha=\mathsf{ORD}\cap N$ .

(Dicho esto, la definibilidad puede depender de supuestos adicionales sobre el universo, como que no haya modelos internos con ciertos cardinales grandes. Pero esto está bien; por ejemplo, hay un modelo interno canónico $K$ definible en ausencia de los cardenales de Woodin. Si el universo es lo suficientemente rico como para ver los cardenales de Woodin, la definición de $K$ no dará lugar a una clase adecuada. Incluso en este caso, sigue habiendo modelos internos en los que la construcción de $K$ se puede llevar a cabo, es decir, modelos en los que no hay modelos internos con cardinales de Woodin, y así podemos definir $K$ en su interior).

Los modelos internos canónicos son genéricamente invariantes, por lo que pasar a forzar extensiones del universo no cambia la interpretación de la definición de $M$ . El carácter local de la definición puede servir de base para una construcción "inductiva" del modelo: Por ejemplo, existe una versión del modelo $K$ definido en el interior, digamos, $J_{\omega_1}(\mathbb R)$ y esta versión es sólo un segmento inicial de $K$ , de altura $\omega_1$ . Pase a una extensión forzada donde $\omega_1$ está colapsado, y $\omega_2$ se convierte en el nuevo $\omega_1$ . En el $J_{\omega_1}(\mathbb R)$ de esta extensión, obtenemos una versión de $K$ , de altura $\omega_1$ . Este es el segmento inicial del $K$ del modelo de suelo, de altura $\omega_2$ en el modelo de suelo.

En ausencia de ciertos grandes cardenales, estos modelos internos se "acercan" al universo real en varios aspectos. Esto se suele formalizar en términos de cobertura. El teorema de cobertura de Jensen, por ejemplo, nos dice que $0^\sharp$ existe, o bien para cualquier conjunto $X$ de ordinales existe un conjunto $Y$ de los ordinales, $Y\in L$ , de tal manera que $X\subseteq Y$ y $|Y|\le|X|+\aleph_1$ . Hay versiones apropiadas de cobertura (más técnicas de enunciar), ya que miramos los modelos internos que permiten la existencia de grandes cardinales más fuertes que $L$ lo hace.

Estos modelos internos vienen con una estructura adicional, que les permite reconstruirse, lo que significa en particular que $K$ cumple con la afirmación $V=K$ pero también que existe un buen ordenamiento de todo el modelo interno, definible dentro del modelo interno. Cuando se restringe a los reales, este ordenamiento es un ordenamiento (de cara ligera) de complejidad apropiada dentro de la jerarquía natural de definibilidad para los reales. Durante mucho tiempo, esto sólo significa proyectivo; así que $\mathbb R^L$ y el buen orden de $\mathbb R^L$ son $\Sigma^1_2$ de manera similar, $\mathbb R^{L[\mu]}$ y el buen orden de $\mathbb R^{L[\mu]}$ son $\Sigma^1_3$ para $L[\mu]$ el modelo interno canónico para un cardinal medible, etc. "Apropiado" significa aquí que $\Sigma^1_2$ sólo es posible para $\mathbb R^L$ (esto es un teorema de Mansfield); una vez que nuestro modelo $M$ ve a los cardenales de Woodin, $\mathbb R^M$ ya no puede ser $\Sigma^1_3$ (esto está relacionado con los resultados sobre la absolutez proyectiva), y cuantos más cardinales de Woodin veamos, más alto en la jerarquía proyectiva estará el conjunto de los reales. En presencia de infinitos cardenales de Woodin, el conjunto de los reales ya no es proyectivo, sino que, al menos para todos los modelos internos canónicos actualmente comprendidos, son universalmente Baire.

Esta estructura adicional de los modelos internos canónicos les proporciona una teoría de estructura fina, similar a la que tenemos en $L$ . Por ejemplo, en $L$ Si $L_\alpha$ satisface suficientemente la teoría de conjuntos, y $X$ es una subestructura elemental de $L_\alpha$ entonces su colapso transitivo es un $L_\beta$ . Esto ya no es cierto en general para otros modelos internos canónicos $M$ pero tenemos que si miramos un segmento inicial $P$ de $M$ , tome una subestructura elemental $X$ y colapsarla, la estructura transitiva resultante $Q$ puede compararse con $P$ de manera que diga que $Q$ "viene" antes de $P$ en un orden natural. Más concretamente, esto se traduce en que hay iteraciones de $P$ y $Q$ , $P\to S$ y $Q\to R$ que terminan en modelos $S$ y $R$ con $R$ siendo un auténtico segmento inicial de $S$ . En $L$ las iteraciones son triviales, ya que $S=P$ y $R=Q$ . En los modelos internos canónicos más grandes, seguimos teniendo $S=P$ pero $R$ ha iterado realmente. En modelos internos canónicos aún más grandes, podemos tener que iterar $P$ también, pero sólo a una ultrapotencia.

Esta posibilidad de comparación de modelos mediante iteraciones es clave. Las iteraciones provienen de los grandes cardenales de los modelos: Podemos formar ultrapoderes en presencia de cardinales medibles, por ejemplo, e iterar este proceso transfinitamente muchas veces, tomando límites directos apropiados en las etapas límite. Cuanto más complejo sea el modelo que consideremos, más complicadas serán las formas de las iteraciones. Pero requerimos que haya una "estrategia" definible que nos diga cómo deben proceder las iteraciones.

Ahora, como la estructura fina de estos modelos es tan importante, podemos considerar los modelos estructurales finos por sí mismos. Los modelos que he descrito anteriormente suelen llamarse modelos básicos; más concretamente, $L$ es el modelo central a menos que $0^\sharp$ existe, $L[\mu]$ es el modelo central si hay modelos interiores con cardinales medibles, pero $0^\dagger$ no existe, y así sucesivamente: Cada uno de estos modelos $M$ es el modelo central, a menos que veamos (una codificación real) una incrustación elemental no trivial de $M$ a sí mismo. Esta es la versión "oficial" de la noción de modelo interno canónico. A continuación, menciono brevemente algunas variantes.

De forma más general, algunos autores utilizan el término "canónico" para referirse a los modelos de estructura fina en general. Aquí hay cierto margen de maniobra en cuanto a los detalles de la jerarquía de estructura fina que se adopta, y el estudio de estas jerarquías por sí mismas es interesante. La teoría al nivel de los cardinales de Woodin se desarrolló utilizando lo que llamamos modelos Mitchell-Steel. Actualmente, el enfoque preferido es utilizar una jerarquía debida a Jensen.

Por último, gran parte de lo anterior admite relativizaciones adecuadas, por lo que podemos empezar con una pequeña estructura de conjuntos "en la base", y construir $K$ como antes "encima" de ella. (Esto nos permite evitar algunos obstáculos; por ejemplo, si la estructura ya tenía cardenales de Woodin, entonces nuestro $K$ ve esos cardenales de Woodin, pero no más). Estas estructuras son típicamente reales, o contables y transitivas. Podemos ir más allá, y estudiar objetos como $K(\mathbb R)$ pero entonces surgen complicaciones importantes, ya que, por ejemplo, perdemos las autoordenaciones. Nótese que si la estructura que añadimos en la parte inferior es "canónica" en algún sentido, entonces se podría afirmar que estos modelos más generales también son canónicos.