Tensor de productos: prueba de que $I \otimes_R M \cong IM$

Question

Asumir que si su neccesarly que el anillo tiene un 1 o es conmutativa ( no estoy seguro si es necesario)

Dado un anillo de $R$ ideal $I$ $R$ $R$ módulo de $M$ , probar que: $ I \otimes _R M \cong IM $ donde $ IM = \left\{ {x \in M:x = \sum\limits_{finito} {i_k m_k \,\,\,i_k \I\,\,m_k \M} } \right\} $

Esto es lo que hice. Primero he definido la función obvia de $ \varphi\colon I\times M \a \,IM $ which is bilinear, so it defines a R-module-homomorphism $$ \varphi ^ \bullet \colon I \otimes _R M \IM $$ y satisface $ \varphi ^ \bullet \left( {i \otimes m} \right) = \varphi \left( {i,m} \right) = im $

He demostrado que los $ \varphi ^ \bala $ is surjective since, given $ \sum\limits_{finito} {i_k m_k } \in IM $ clearly $ \varphi ^ \bullet \left( {\sum\limits_{finito} {i_k \otimes m_k } } \right) = \sum\limits_{finito} {i_k m_k } $ Pero la inyectividad ¿cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

"Pero la inyectividad ¿cómo puedo demostrarlo?"
Queridos Susuk, que no puede porque es falsa y no es un buen augurio para usted y que usted no podía demostrarlo!
Aquí es un contraejemplo:

Deje $k$ ser cualquier campo . Considere la posibilidad de $R=k[X]/(X^2)=k[\epsilon]$ y deje $I$ ser el ideal $I=(\mathbb \epsilon)=k\cdot \epsilon \subset R$ .
Tome $M=I$. Tenemos $I\cdot M=I^2=(0)$ y en el fin de mostrar que su mapa de $ \varphi ^ \bullet :I \otimes _R I \I^2$ is not injective, it suffices to prove that $I \otimes _R I\neq 0$.
Sin embargo, desde la $I$ es asesinado por $\epsilon$ tenemos $I \otimes _R I=I \otimes _{R/(\epsilon)} I=I \otimes _k I$ y el segundo espacio vectorial es unidimensional sobre el campo $k$, de ahí que no sea cero.

(Por supuesto, si $M$ es plano sobre a $R$, el isomorfismo $I \otimes _R M \stackrel {\simeq} {\to}IM $ tiene)