fracción continua

Question

Un par de años encontré la siguiente fracción continua para $\frac1{e-2}$:

$$\frac{1}{e-2} = 1+\cfrac1{2 + \cfrac2{3 + \cfrac3{4 + \cfrac4{5 + \cfrac5{6 + \cfrac6{7 + \cfrac7{\cdots}}}}}}}$$

de perder el tiempo con el bien conocido continuó fracción $\phi$. ¿Alguien aquí puede ayudarme averiguar por qué tiene esta igualdad?

Answer 1

Euler demostró en "De Transformatione Serium en Fractiones Continuas" de Referencia: El de Euler de Archivo, el número de Índice E593 (En el La transformación de una Serie Infinita de Fracciones continuas) [Teorema VI, §40 §42] que

$$s=\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cdots }}}=\dfrac{1}{e-1}.$$

Aquí su explicación sobre cómo se procedió. Afirmó que si

$$\cfrac{a}{a+\cfrac{b}{b+\cfrac{c}{c+\cdots }}}=s,$$

entonces

$$a+\cfrac{a}{a+\cfrac{b}{b+\cfrac{c}{c+\cdots }}}=\dfrac{s}{1-s}.$$

Puesto que, en este caso, tenemos $a=1,b=2,c=3,\ldots $ es de la siguiente manera

$$1+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cdots }}}=\dfrac{1}{e-2}.$$

Edit: Euler demuestra primero cómo transformar una corriente alterna de la serie de un tipo particular en la continuación de la fracción y, a continuación, utiliza la expansión

$$e^{-1}=1-\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{1\cdot 2}-\dfrac{1}{1\cdot 2\cdot 3}+\ldots .$$

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REFERENCIAS

Euler Archivo, el número de Índice E593, http://www.math.dartmouth.edu/~euler/

Traducción de Leonhard Euler papel por Daniel W. Archivo, La Universidad Estatal de Ohio.

Answer 2

Otra posibilidad: recuerde que los numeradores y denominadores de las sucesivas convergents de forma continuada, una fracción puede ser calculada usando una de tres términos de la recurrencia.

Una fracción

$$b_0+\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\dots}}$$

con n convergente $\frac{C_n}{D_n}$, la recurrencia

$$\begin{bmatrix}C_n\\\\D_n\end{bmatrix}=b_n\begin{bmatrix}C_{n-1}\\\\D_{n-1}\end{bmatrix}+a_n\begin{bmatrix}C_{n-2}\\\\D_{n-2}\end{bmatrix}$$

con los valores de partida

$\begin{bmatrix}C_{-1}\\\\D_{-1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\\\0\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix}C_{0}\\\\D_{0}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}b_0\\\\1\end{bmatrix}$

sostiene.

Con $b_j=j+1$$a_j=j$, ahora tratar de encontrar una solución para los dos ecuaciones de diferencia.

Omitiendo detalles, la solución de los dos repeticiones son

$$C_n=\frac{(n+3)!}{n+2}\sum_{j=0}^{n+3}\frac{(-1)^j}{j!}$$

y

$$D_n=\frac{(n+3)!}{n+2}\left(1-2\sum_{j=0}^{n+3}\frac{(-1)^j}{j!}\right)$$

son soluciones de la diferencia de dos ecuaciones.

Divida $C_n$ $D_n$ y tomar el límite cuando $n\to\infty$; usted debe conseguir el resultado esperado.