Estoy tratando de resolver este uso del teorema de Rouch y creo que lo hice. Estoy completamente aleteo esto basado en el artículo de la Wiki sobre él así que por favor dime si estoy fuera de la bola.
Así que el problema es en realidad encontrar el número de ceros de $z-\frac{1}{4}e^z$ dentro del círculo unidad.
Así que yo elijo mi $f$ función a $z$ y mi $g$ función a $\frac{1}{4}e^z$. No tengo que demostrar que $|f(z)|>|g(z)|$ sobre el círculo unidad.
$$|z|=1\Rightarrow z =\cos\phi+i\sin\phi\Rightarrow e^z=e^{\cos\phi}+e^{i\sin\phi}=e^{\cos\phi}+\cos\sin\phi+i\sin\sin\phi$$ Ahora la parte imaginaria de $-\frac{1}{4}e^z$ $[-\frac{1}{4},\frac{1}{4}]$ porque $\sin$$[-1,1]$, y la parte real es de $[-\frac{e+1}{4},\frac{e+1}{4}]\approx[-0.93, 0.93]$. El punto con el mayor valor absoluto en ese rectángulo es a $(0.93, 1/4)$, y del valor absoluto menos de $1$.
Así que llego a la conclusión de que $|f(z)|$ es mayor que $|g(z)|$ sobre el círculo unidad, y desde $f$ tiene un cero en el interior de la misma, $f+g$ cual es la función original, también tiene un cero en el interior del círculo.
