$M$ finitely generado si submódulo y el cociente se finitely generado.

Question

Sé que esto debe ser fácil. Soy nuevo en los módulos, así que tal vez debo estar perdiendo algo importante.

Deje $M$ $R$- módulo. Demostrar que si existe un submódulo $N$ tal que $N$ $M/N$ son finitely generado, entonces, $M$ es finitely generado.

Si la secuencia exacta $0 \longrightarrow N \longrightarrow M \longrightarrow M/N \longrightarrow 0 $ (donde el segundo y tercer flechas son la inclusión y la proyección respectivamente) se divide, a continuación, $M$ sería isomorfo a la suma directa de $M$$M/N$, y la conclusión sería la siguiente (creo). Pero no puedo demostrar que se divide.

Gracias.

Answer 1

Tal vez esto funciona?

Supongamos $M/N$ es finitely generado con los generadores $a_1+N,\dots,a_m+N$, e $N$ es finitely generado con los generadores $b_1,\dots,b_n$. Tomar cualquier $m\in M$. A continuación, $m+N=\sum_{i=1}^m r_i(a_i+N)=\left(\sum_{i=1}^m r_ia_i\right)+N$ ver $M/N$ $R$- módulo.

Esto implica $m-\sum_{i=1}^m r_ia_i\in N$, y por lo tanto $m-\sum_{i=1}^m r_ia_i=\sum_{j=1}^n s_jb_j$ algunos $r_i,s_j\in R$. Finalmente, $m=\sum_{i=1}^m r_ia_i+\sum_{j=1}^n s_jb_j$. Por lo $M$ es generado por $a_i, b_j$ $i=1,\dots, m$ $j=1,\dots n$

Answer 2

Tome un set de generación de energía $\{\bar z_1, \ldots, \bar z_m\}$$M/N$. Si $x$ es un elemento de $M$, entonces no existe $a_1, \ldots, a_n \in R$ que la imagen $\bar x$ $x$ $M/N$ es \[ \bar x = a_1\bar z_1 + \cdots + a_n\bar z_n. \] Desde que el mapa de la derecha es surjective, usted puede elegir ascensores $\{z_1, \ldots, z_m\}$ $M$ de la mencionada generación del sistema. Ahora, el elemento \[ x' = a_1z_1 + \cdots + a_nz_n \] tiene la misma imagen como $x$$M/N$. ¿Ve usted una manera de utilizar la exactitud en el medio?

Tenga en cuenta que la secuencia no necesita dividir: considerar el $\mathbf Z$-submódulo $2\mathbf Z$$\mathbf Z$.