Deje $a_n>0$ $b_n>0$ dos estrictamente la disminución de las secuencias, tales que la serie $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{b_n}$$ is convergent. For $\sigma>0$ define $$f^N(\sigma) = \sum_{n=1}^N \frac{a_n}{b_n + \sigma/N}$$ Is it generally true that $\lim_{N \to \infty} f^N(\sigma)$ is independent of $\sigma$ o hay contraejemplos?
Observaciones:
- La respuesta es trivialmente cierto si $\sum \frac{a_n}{b_n^2}$ es convergente así. En este caso, $$\left|\frac{d}{d\sigma} f^N(\sigma)\right| = \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} \frac{a_n}{(b_n+\sigma/N)^2} \leq \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N \frac{a_n}{b_n^2} \to 0$$
- Más interesante es el caso de las divergentes $\sum \frac{a_n}{b_n^2}$, por ejemplo, $a_n = c^{-2n}$ $b_n = c^{-n}$ o$a_n = 1/n^4$$b_n = 1/n^2$. En ambos de estos casos $$ \frac{d}{d\sigma} \left.f^N(\sigma)\right|_{\sigma=0} \to 1, $$ but from playing around with Maple and Mathematica I have the suspicion that $\frac{d}{d{\sigma}}f^N(\sigma)$ converges to $0$ for every $\sigma>0$, i.e. $f^N(\sigma)$ becomes non-differentiable in the limit. If that is true it would still allow for the possibility of $f^N(\sigma)$ convergentes pointwise a una constante.
- Finalmente, estoy interesado en el caso de $a_n = n^2I_n(K)^2$ $b_n=I_n(K)$ donde $I_n(K)$ es función modificada de Bessel de primera especie.
Cualquier ayuda o puntero de la literatura relevante es muy apreciada!
