Dado $f(1)=10,f(2)=20,f(3)=30$encontrar $f(12)+f(-8)$ de un polinomio monic del grado 4-th

Question

Si $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$. Dado $f(1)=10,f(2)=20,f(3)=30$encontrar $f(12)+f(-8)$. Este problema me ha preocupado mucho. Más tratar de resolverlo, se convierte en más largo.

Mi problema es que hay sólo tres ecuaciones y cuatro incógnitas.

Por favor, ayúdame.

Answer 1

Que $g(x) = f(x) - 10x$ $$g(1) = g(2) = g(3) = 0\quad\implies\quad (x-1)(x-2)(x-3) \;\;\text{ divides }\;\;g(x)$ $ como resultado, $f(x)$ tiene la forma

$$f(x) = 10x + (x-t)(x-1)(x-2)(x-3)$ $ para convenientemente elegido constante $t$. Aviso $$ \begin{align} (12-1)(12-2)(12-3) &= 990\\ (-8-2)(-8-1)(-8-3) &= -990 \end{Alinee el} $$ contamos con $$ \begin{align} f(12) + f(-8) &= 10(12 - 8) + 990(12-t) - 990(-8-t)\\ &= 40 + 990 \times 20 = 19840 \end{Alinee el} $$

Answer 2

Sabemos que

$$1+a+b+c+d=10$$ $$16+8a+4b+2c+d=20$$ $$81+27a+9b+3c+d=30$$

Y queremos saber

$$f(12)+f(-8)=24832+1216a+208b+4c+2d$$

Sabiendo que podemos añadir la 24,832 más tarde, es suficiente para saber

$$608a+104b+2c+d$$

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Queremos $z$ veces la primera ecuación, $y$ los tiempos de la segunda y $x$ los tiempos de la tercera. Esto le da a las ecuaciones, ignorando el número de $a$s:

$$x+y+z=1$$

$$3x+2y+z=2$$

$$9x+4y+z=104$$

Dos primeras ecuaciones dar $2x+y=1$, la primera y la segunda da $8x+3y=103$, lo $2x=100$$x=50$. Esto le da a $y=-99$$z=50$.

Sabes por qué soy feliz? Porque resulta que $50\cdot 27-99\cdot8+50\cdot1=608$.

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Así que 50 veces la primera ecuación más -99 veces el segundo, más de 50 veces el tercero da $608a+104b+2c+d-2516=20$, lo $24832+1216a+208b+4c+2d=19840$

Answer 3

El hecho de que hay tres equiations para cuatro incógnitas estados que la solución va a tener uno sin restricciones desconocido. Desde que te piden una respuesta concreta, el $f(12) + f(-8)$ es una expresión especialmente diseñada que no dependen, en particular sin restricciones desconocido.

Vamos a simplifiy cosas mediante la introducción de $y = x - 2$. Deje $g(y)$ $f(x)$ para esta nueva variable: $$ g(y) = f(y + 2) = (y + 2)^4) + (y+2)^3 + \dots = y^4 + y^3 + B y^2 + C i + D. $$ $g(y)$ tiene restricciones similares, $$ g(-1) = f(1) = 10\\ g(0) = f(2) = 20\\ g(1) = f(3) = 30 $$ y estamos preguntó acerca de las $f(12) + f(-8) = g(10) + g(-10)$. Nota la simetría en las restricciones y el valor que nos son interesantes. Ahora, $$ 40 = g(-1) + g(1) = 2\cdot 1^4 + 2B\cdot 1^2 + 2D = 2 + 2B + 2D\\ 40 = 2 g(0) = g(0) + g(-0) = 2\cdot 0^4 + 2B\cdot 0^2 + 2D = 2D\\ g(10) + g(-10) = 2\cdot 10^4 + 2B\cdot 10^2 + 2D = 20000 - 200 + 40 = 19840 $$

Answer 4

Sugerencia: Resolver el sistema $$1+a+b+c+d=10$ $ $$16+8a+4b+2c+d=20$ $ $$81+27a+9b+3c+d=30$ $