He intentado aproximar la solución de $x=f(x)$ para algunos dado $f$, por adivinar $x=a$, entonces observé que $x=f(a)$ fue una aproximación aún mejor y $x=f(f(a))$ y así sucesivamente fue aún mejor, así que ¿por qué este método funciona y para que f, es suficiente que f es continua?
Respuesta
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Sin duda, este método funciona si la función es continua de Lipschitz con Lipschitz constante $L<1$. En general, no es cierto.
Por ejemplo, que $f(x)=x+1$, entonces para cualquier valor inicial $x_0$, diverge la secuencia $x_n=f(x_{n-1})$ ($n\geq1$).
