La cadena de Markov con innumerables espacio de estado

Question

Soy auto-estudio de la teoría de la probabilidad y luchando con la comprensión de las cadenas de Markov en innumerables estado de los espacios, en particular, me gustaría resolver el siguiente ejercicio de este libro.

$\textbf{15.2.3.}$ Considera que la cadena de Markov en la línea real $\mathbb{R}$ donde $P(x, \cdot) = N(\frac{x}{2}, \frac{3}{4})$ por cada $x \in \mathbb{R}$. Mostrar que $\pi(\cdot) = N(0,1)$ es una distribución estacionaria para esta cadena. Y ¿cómo proceder en el que muestra la cadena es irreducible con respecto a la medida de Lebesgue?

$P(x,A)$ es la probabilidad de que la cadena va a saltar a un subconjunto $A$ estar en un punto de $x$.

En el caso de estados finitos espacio, me parece haber entendido esto como que todo se reduce a resolver un sistema de igualdades. Pero yo no veo cómo funciona cuando las integrales están involucrados.

Alguien podría ofrecer algunos iluminando sugerencias? Voy a tratar de trabajar el resto de mí. Gracias de antemano.

Answer 1

Puesto que ya se da una distribución estacionaria, solo debe comprobarlo. Para la definición de la distribución estacionaria debe tener $$ \pi(A) = \int\limits_{\mathbb R}P(y,a)\pi(dy) $$ para cualquier conjunto medible $A$. Así que usted sabe que $$ P(y,a) = \int\limits_{Un}\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{(z-y/2)^2}{2\sigma^2}}\,dz. $$ Donde $\sigma^2 = 3/4$.

Así que usted debe mostrar que $$ \int\limits_{Un}\frac1{\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{y^2}{2}}\,dy = \int\limits_{\mathbb R}\frac1{\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{y^2}{2}}\,dy\int\limits_{Un}\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{(z-y/2)^2}{2\sigma^2}}\,dz $$

Vamos como trabajar un poco con la mano derecha: $$ \frac1{2\sigma\pi}\int\limits_{\mathbb R}\mathrm \,dy\int\limits_{Un}\mathrm e^{-\frac{(z-y/2)^2}{2\sigma^2}+y^2/2}\,dz = \frac1{2\sigma\pi}\int\limits_{\mathbb R}\mathrm \,dy\int\limits_{Un}\exp\left\{-\frac{(z-y/2)^2+\sigma^2y^2}{2\sigma^2}\right\}\,dz $$ $$ = \frac1{2\sigma\pi}\int\limits_{\mathbb R}\mathrm \,dy\int\limits_{Un}\exp\left\{-\frac{z^2-zy+y^2}{2\sigma^2}\right\}\,dz= \frac1{2\sigma\pi}\int\limits_{\mathbb R}\mathrm \,dy\int\limits_{Un}\exp\left\{-\frac{(y-z/2)^2+\sigma^2z^2}{2\sigma^2}\right\}\,dz $$ y aquí podemos cambiar las integrales (¿sabe usted por qué está permitido?) $$ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{Un}\mathrm e^{-z^2/2}\,dz\int\limits_{\mathbb R}\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\mathrm e^{-\frac{(y-z/2)^2}{2\sigma^2}}\,dy = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{Un}\mathrm e^{-z^2/2}\,dz = \pi(A) $$ desde el interior de la integral siempre es $1$, debido al hecho de que es una integración ofPDF en todo el espacio de estado.

Sobre la irreductibilidad: debemos demostrar que si $\lambda(A)>0$, entonces la probabilidad de retorno $L(x,A)>0$ todos los $x\in \mathbb R$. La simple estimación de $L(x,A)\geq P(x,A)>0$ todos los $A:\lambda(A)>0$ le llevará a la respuesta deseada.

Answer 2

Sólo por diversión, vamos a probar la unicidad de $\pi$ usando funciones características. Para la transición del núcleo, la función característica $\hat\pi$ de cualquier invariante probabilidad de medida $\pi$ satisface $$\hat\pi(t)=\hat\pi(t/2) \exp\left(-{t^2\over 2} [3/4]\right).$$ Sustituyendo $t/2$ $t$ en esta ecuación, y la repetición de descubrimos que, para cada $n\geq 0$, $$\hat\pi(t)=\hat\pi(t/2^n) \exp\left(-{t^2\over2} [1-1/4^n]\right).$$ Ahora vamos a $n\to\infty$ y a la conclusión de que $\hat\pi(t)=\exp(-t^2/2)$, es decir, $\pi$ debe ser una distribución normal estándar.