Ext functor desplazamientos con la conexión de homomorphisms?

Question

Supongamos que tenemos una secuencia exacta $0 \to L \to M \to N \to 0$ y un morfismos $f \colon A \to B$ $R$- módulos. Si $\delta \colon \text{Ext}^{i}_{R}(B,N) \to \text{Ext}^{i+1}_{R}(B,L)$ $\delta' \colon \text{Ext}^{i}_{R}(A,N) \to \text{Ext}^{i+1}_{R}(A,L)$ son la natural conexión homomorphisms, estoy tratando de averiguar por qué

$(*)$ $ \delta' \circ \text{Ext}^{i}(f,N) = \text{Ext}^{i+1}(f,L) \circ \delta? $

Mi confusión:

Si dejamos $T^{i} = \text{Ext}^{i}(B,-)$ $U^{i} = \text{Ext}^{i}(A,-)$ sabemos que hay natural único transformaciones $\psi^{i} \colon T^{i} \to U^{i}$ tal que $\delta' \circ \psi^{i}(N) = \psi^{i+1}(L) \circ \delta$ por cada $i \geq 0$$\psi^{0} = \text{Hom}(f,-)$. (Northcott, Una introducción al álgebra homológica, páginas 115, teorema 10).

Así que esto podría resolver mi pregunta si yo sabía que $\psi^{i}(C) = \text{Ext}^{i}(f,C)$ todos los $R$-módulos de $C$. Ahora bien, esto es probablemente cierto.. pero no veo por qué no.

Los mapas de $\text{Ext}^{i}(f,C)$ (que yo sepa) se definen tomando inyectiva resoluciones de $B$$A$ , luego de tomar la cadena de mapa inducida por $f$ y la aplicación de $\text{Hom}(-,C)$ y, a continuación, cohomology.. ahora si los definimos de esta manera... ¿por qué tendría que conmuta con la conexión de homomorphism como en $(*)$?

Answer 1

Esto se desprende de la connaturalidad de la conexión homomorphism de una secuencia exacta corta de complejos (homológica convención) : si $$ \begin{matrix} 0\longrightarrow &K_{\bullet}&\longrightarrow &L_{\bullet}&\longrightarrow &M_{\bullet}&\longrightarrow 0\\ &~\downarrow\kappa&&~\downarrow\lambda&&~\downarrow\mu&\\ 0\longrightarrow &K'_{\bullet}&\longrightarrow &L'_{\bullet}&\longrightarrow &M'_{\bullet}&\longrightarrow 0 \end{de la matriz}$$ son dos breves secuencias exactas de los complejos, y $\kappa,\lambda,\mu$ son de la cadena de mapas, a continuación, el siguiente diagrama conmuta $$\begin{matrix} \cdots&\longrightarrow&H_{n+1}(M_{\bullet})&\xrightarrow{\delta}&H_n(K_{\bullet})&\longrightarrow&H_n(L_{\bullet})&\longrightarrow&H_n(M_{\bullet})&\xrightarrow{\delta}& H_{n-1}(K_{\bullet})&\longrightarrow&\cdots\\ &&\downarrow\mu&&\downarrow\kappa&&\downarrow\lambda&&\downarrow\mu&&\downarrow\kappa\\ \cdots&\longrightarrow&H_{n+1}(M'_{\bullet})&\xrightarrow{\delta}&H_n(K'_{\bullet})&\longrightarrow&H_n(L'_{\bullet})&\longrightarrow&H_n(M'_{\bullet})&\xrightarrow{\delta}& H_{n-1}(K'_{\bullet})&\longrightarrow&\cdots \end{de la matriz}$$ La prueba es fácil de comprobar que todo lo que conmutan mediante la construcción de $\delta$ sobre el nivel de la cadena. La misma declaración se sostiene para los morfismos entre el corto exacta secuencias de cochain complejos (cohomological convención).

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El $\text{Ext}$ tiempo exacto secuencias de surgir en esta manera: tome inyectiva resoluciones $I^{\bullet}_X$ $X=L,M,N$ que forma un corto exacta secuencias de cochain complejos $$ 0\longrightarrow I^{\bullet}_L\longrightarrow I^{\bullet}_M\longrightarrow I^{\bullet}_N\longrightarrow 0 $$ Aplicar los functors $\mathrm{Hom}(A,-)$ $\mathrm{Hom}(B,-)$ y obtiene dos breves secuencias exactas de los complejos que están vinculados por la transformación natural $f^*:\mathrm{Hom}(B,-)\xrightarrow{-\circ f}\mathrm{Hom}(A,-)$ $$ \begin{matrix} 0\longrightarrow &\mathrm{Hom}(B,I^{\bullet}_L)&\longrightarrow &\mathrm{Hom}(B,I^{\bullet}_M)&\longrightarrow &\mathrm{Hom}(B,I^{\bullet}_N)&\longrightarrow 0\\ &~\downarrow f^*&&~\downarrow f^*&&~\downarrow f^*&\\ 0\longrightarrow &\mathrm{Hom}(A,I^{\bullet}_L)&\longrightarrow &\mathrm{Hom}(A,I^{\bullet}_M)&\longrightarrow &\mathrm{Hom}(A,I^{\bullet}_N)&\longrightarrow 0 \end{de la matriz} $$ El cohomologies son, por definición, el $\text{Ext}$ grupos a los que usted está interesado en, y a partir de lo que precede podemos obtener la conmutación de los mapas inducida por $f$ y la conexión de homomorphisms.