¿Cómo puedo ver que la característica de Euler de un conectada suma de las superficies de $S_1$ $S_2$ está dado por$$\chi(S_1 \# S_2) = \chi(S_1) + \chi(S_2) - 2?$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para definir el conectado suma de $S_1$$S_2$, considere la posibilidad de una triangulación $T_1$$S_1$$T_2$$S_1$, eliminar un triángulo $t_1\in T_1, t_2\in T_2$ y el pegamento a lo largo de los límites de $t_1$$t_2$. Usted obtener una triangulación de $S_1\# S_2$ inducida por $T_1$$T_2$.
Si $s_i$ es el número de vértices de $T_i$, $a_i$ de los bordes de las $T_i$ $n_i$ de los triángulos de $T_i, i=1,2$;
El número de vértices de esta triangulación es $s_1+s_2-3$ desde identificar un vértice de $t_1$ con un vértice de $t_2$,
El número de aristas de esta triangulación es $a_1+a_2-3$ desde identificar un borde de $t_1$ con un borde de $t_2$,
El número de triángulos es $n_1+n_2-2$ desde quite $t_1$$t_2$.
Podemos deducir que: $\chi(S_1 \# S_2)=(s_1+s_2-3)-(a_1+a_2-3)+(n_1-1+n_2-2)=\chi(S_1)+\chi(S_2)-2$.
