Función de Green en $\mathbb{R^3}$ (limitado)

Question

Encontrar la función de Green para el dominio $Ω = {x = (x_1, x_2, x_3) ∈ \mathbb{R^3} : x_3 ∈ (0, L)}$. El operador de preguntas es el Laplaciano y el Verde de la función se define como:

$G(x,y) = ϕ(x,y) - ϕ^*(x,y)$

donde $ϕ$ es la solución fundamental de la ecuación de Laplace y $ϕ^*$ es el corrector de plazo. Hasta ahora he considerado que la función de Green para la mitad de espacio para iniciar este problema, es decir:

$G(M,M_0) = \frac{1}{4\pi|M-M_0|} - \frac{1}{4\pi|M-M_1|}$

Donde $M = (x_1,x_2,x_3)$, $M_0 = (x_{10},x_{20},x_{30})$ y $M_1 = (x_{10},x_{20},-x_{30})$

Estoy teniendo problemas porque en este problema x3 está acotada entre 0 y L

Answer 1

La función de $\frac{1}{4\pi |M-M_0|}$ satisface la PDE y tiene el tipo de singularidad que queremos, así que todo está a la izquierda, es cumplir la condición de frontera (que es la condición de Dirichlet $G=0$). En un espacio medio, esto se hace utilizando el hecho de que una extraña función de una variable es necesariamente $0$, en el origen. Así, podemos crear una función impar (con respecto a $x_3$) tomando $$\frac{1}{4\pi |M-M_0|}-\frac{1}{4\pi |M-M_0'|} \tag1$$ donde el primer medio de reflexión en el $x_3=0$ plano. Ahora nos gustaría aplicar a la reflexión (1), esta vez sobre el plano de $x_3=L$. Esto crea dos términos y, lamentablemente, destruye la simetría alrededor de $x_3=0$. Podemos restaurar la simetría alrededor de $x_3=0$, reflejando allí de nuevo... Este proceso conduce a una serie infinita: ver xkcd555.

Para hacer el cuento largo corto, observe las siguientes: una extraña función de $x_3$ que es periódica con período de $2L$ va a ser necesariamente cero en ambos $x_3=0$$x_3=L$. (Por qué?) Así que, todo lo que necesitamos hacer es crear una función periódica de (1). Como este: $$\sum_{n\in\mathbb Z}\left(\frac{1}{4\pi |M+2Ln e_3-M_0|}-\frac{1}{4\pi |M+2Ln e_3-M_0'|} \right)\tag2$$ donde $e_3$ es la base de vectores para $x_3$ eje. (Esto es lo que user8268 sugirió en un comentario.)

Answer 2

Cuando se habla de los Verdes funciones tenemos que especificar un par de cosas. Primero de todo debemos especificar el operador para el que estamos tratando de encontrar una función de Green, en nuestro caso, que es el operador Laplaciano $\nabla^2 = \partial_{xx}+\partial_{yy}+\partial_{zz} $. Además, todos de la función de Green tiene algunos región sobre la cual se define, vamos a llamar a esta región $S$.

Una de Dirichlet de la función de Green en una región dada, se define por las siguientes propiedades

• $\nabla^2 G_D(\vec{x},\vec{x}') = \delta(\vec{x}-\vec{x}')$
• $G_D(\vec{x},\vec{x}')\mid_S = 0$
• $G_D(\vec{x},\vec{x}') = G_D(\vec{x}',\vec{x})$

La de Dirichlet de la función de Green para todo el espacio en $\mathbb{R}^3$ $$\phi=\frac{1}{\vert \vec{x}-\vec{x} '\vert}$$

La aplicación cuidadosa de $\nabla^2$ a esta función, el resultado será una función delta y la función va a cero en $\infty$ como se requiere.

Prestar un poco de intuición $\phi$ puede ser considerado como el potencial electrostático en $\vec{x}$ debido a un punto de carga en $\vec{x}'$. Esto motiva la idea de que el método de las imágenes. Para el caso más simple consideramos los verdes de la función en la región de $ \lbrace z \geq 0 \mid (x,y,z) \in \mathbb{R^3} \rbrace$.

Para la construcción de una función de Green para esta región, primero vamos a empezar por incluidas $\phi$ a fin de obtener la función delta y, a continuación, añadimos las soluciones de la ecuación de Laplace para hacer cumplir las condiciones de frontera.

$$G_D(\vec{x},\vec{x}') = \phi + F \qquad (\nabla^2 F=0)$$

La dificultad se encuentra normalmente en la búsqueda de la adecuada $F$. Queremos $G_D$ a desaparecer en el $xy$-plano, el pensamiento de $\phi$ como la colocación de un punto de carga en $\vec{x}'$ $\lbrace z \gt 0 \rbrace$ elegimos $F$ a ser el potencial de un punto de carga, que es el reflejo de la primera en el otro lado del avión con el signo opuesto.

$$F = -\frac{1}{\vert \vec{x}-\vec{x}''\vert} \qquad \langle x'',y'',z''\rangle=\langle x',y',-z' \rangle $$

Podemos ver que mediante la reflexión de la $\vec{x}'$ sobre el $xy$-plano vector le acabo de encontrar el adecuado término de corrección para matar a $G_D$ $z=0$ sin romper la condición de que $\nabla^2 G_D = \delta(\vec{x}-\vec{x}')$$z\geq 0$.

Un físico quiere decir que hemos colocado una imagen de carga en $\vec{x}''$. Si el idioma no es cómodo para usted, a continuación, siéntase libre de sólo pensar en el vector $\vec{x}'$ se reflexionó acerca de la $xy$-plano.

Ese fue el ejemplo más sencillo que creo que ya has visto. Ahora tenemos dos planos de delimitación de las superficies con un espaciado de $L$ entre ellos. Podemos utilizar el mismo enfoque, pero será un poco más complicado. El problema es que cada imagen se carga será necesario colocar una nueva imagen que conduce a una infinita serie de correcciones para $F$.

Como una ilustración simple permite pensar en cómo sería si sólo hemos considerado el caso en que $\vec{x}'$ está a medio camino entre los planos. Que es $z'=L/2$. El pensamiento de cada plano como un espejo que podemos esperar ver un reflejo en cada lado en $z=-L/2$ y a las $z=3L/2$. Si alguna vez has estado en la habitación con espejos en paredes opuestas probablemente usted está familiarizado con el efecto de las reflexiones yendo para siempre hacer un número infinito de copias de la habitación. Esto va a suceder aquí. La parte inferior de la reflexión (z=-L/2) a continuación se va a tener una nueva reflexión sobre a (z=5 L/2), y viceversa. Estas nuevas reflexiones tendrá más reflexiones cada vez tratando de asegurarse de que el potencial en los aviones es cero. Ningún número finito de imágenes se pueden realizar esto, pero un número infinito puede (la convergencia es muy lenta).

Algo importante a tener en cuenta es que nunca se ponga un reflejo en el original de la región de interés, porque se rompería la primera condición para $G_D$. Espero que ayude.

Usted puede encontrar más información sobre esto en los siguientes libros:

• "Parciales Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones" por Zachmanoglou y Dale W. Thoe

• "Introducción a la Electrodinámica" por David J. Griffiths

• "Electrodinámica clásica" por John David Jackson