La derivación de un cálculo vectorial identidad

Question

El siguiente es de un pasado en el examen de calificación, y por lo tanto deben tener un relativamente mancha de la solución.

Deje $g: \mathbb{R}^2 \to (0, \infty)$ $C^2$ función, y definir $\Sigma \in \mathbb{R}^3$ a ser la gráfica de $g$ restringido a la unidad de disco, es decir,$\{x, y, g(x,y)|x^2 + y^2 \leq 1\}$. Supongamos que $\Sigma$ está contenido en la bola de radio $R$, y que el rayo desde el origen a $R$ cruza con $\Sigma$ a lo sumo una vez. Si $E$ denota el conjunto de puntos en $\mathbb{S}^2(R)$ para que el rayo no se cruzan $\Sigma$, precisamente, de una vez, entonces la tarea es encontrar una ecuación que relaciona el área de $E$, $R$ y la siguiente integral:

$$ \int_\Sigma \nabla \Gamma(x) \cdot N(x) dS$$

donde $\Gamma = \frac{1}{|x|},$ $N$ denota una unidad normal como siempre.

He jugueteado con la idea de que el teorema de la divergencia. La idea es algo así como con el hecho de que los rayos dejando el origen son normales a la esfera, para encontrar algún tipo de flujo integral, pero no se van a reunir para mí después de trabajar a través de la práctica del examen.

Disculpas si es muy simple!

Answer 1

Como $\Sigma$ es contenida por la pelota, por lo que es $\partial\Sigma$. Considere la posibilidad de los rayos desde el origen a $\partial\Sigma$, que forma una superficie de $T$ que, en coordenadas esféricas, como cada rayo es definida por algunos $\theta_0$ $\phi_0$ fijo, puede ser parametrizada por $\sigma=(r,\theta,\phi)=(u,f(v),g(v))$ (con el adecuado rango de valores de $u,v$, siendo la de ellos no es relevante ahora), por lo que es, $\theta$ $\phi$ no dependen del valor de $u$ en su gama. Por lo tanto, tenemos $\dfrac{\partial\sigma}{\partial u}=\hat r$, que es tangente a la superficie (en la que, de hecho), y siendo el vector unitario a lo largo de $r$. Además, la superficie de la $T$ $\Sigma$ encerrar algunas volumen $V_\Sigma$

Ahora, con $\nabla \Gamma(x)=\nabla\dfrac{1}{\vert x\vert}=-\dfrac{\hat r}{x^2}$, podemos calcular la integral

$$\int_{\Sigma\cup T} \nabla \Gamma(x) \cdot N(x) dS=\int_T -\dfrac{\hat r}{x^2}\cdot N(x)dS+\int_\Sigma \nabla \Gamma(x) \cdot N(x) dS$$

Pero $\hat r\cdot N(x)=0$ porque $\hat r$ tangente a la superficie y $N(x)$ es normal.

$$I_{V_\Sigma}=\int_{\Sigma\cup T} \nabla \Gamma(x) \cdot N(x) dS=\int_\Sigma \nabla \Gamma(x) \cdot N(x) dS$$

Procedemos de la misma manera para $E$, teniendo en cuenta que los rayos desde el origen a $\partial E$ y la formación de una superficie que encierra el volumen de $V_E$. De la misma manera, la integral de la totalidad de la superficie es demasiado igual a la integral de $E$:

$$I_{V_E}=\int_E \nabla \Gamma(x) \cdot N(x) dS$$

Pero $E$ es más simple que el de $\Sigma$ y el uso de coordenadas esféricas, con $\theta(\phi)$$\partial\Sigma$:

$$I_{V_E}=\int_0^{2\pi}\int_0^{\theta(\phi)}\int_0^R-\dfrac{\hat r}{R^2}\cdot\hat r r^2\sin\theta dr d\theta d\phi=-\dfrac{1}{R^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{\theta(\phi)}\int_0^Rr^2\sin\theta dr d\theta d\phi$$

$$I_{V_E}=-\dfrac{1}{R^2}A(E)$$

Con $A(E)$ el área de $E$.

Considere la posibilidad de la región de $V_E\backslash V_\Sigma$, formado por $\Sigma$, $E$ y la correspondiente rayos. A continuación,

$$I_{V_E}=I_{V_\Sigma}+\int_{\partial(V_E\backslash V_\Sigma)} \nabla \Gamma(x) \cdot N(x) dS$$

como la integral para el común de superficie $\Sigma$ es de diferente signo para $\partial(V_\Sigma)$ $\partial(V_E\backslash V_\Sigma)$

Pero por el teorema de la divergencia

$$\int_{\partial(V_E\backslash V_\Sigma)} \nabla \Gamma(x) \cdot N(x) dS=\int_{V_E\backslash V_\Sigma}\nabla\cdot\nabla\Gamma(x)dv=0$$

debido a $x=0$ en el volumen. Así,

$$I_{V_\Sigma}=-\dfrac{1}{R^2}A(E)$$