Restricción de una representación irreducible a una normal subgrupo cíclico cociente

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, $H$ un subgrupo normal de $G$ tal que $G/H$ es cíclico. Deje $V$ ser una representación irreducible a través de una algebraicamente cerrado campo de $k$,$char(k)=0$.

Es cierto que la restricción de $V$ $H$es una suma directa de irreductible pares no isomorfos representaciones de $H$?

Lo que si $G$ es profinite, $H$ está abierto en $G$ (con cíclico cociente e $V$ $\ell$- ádico continua $\overline{\mathbb{Q}_\ell}$-representación?

Answer 1

Sí que es cierto que la restricción de $V$ $H$es una suma directa de pares no isomorfos representaciones de $H$ en el grupo finito caso. No tengo idea de lo que sucede en el profinite caso.

Sólo voy a dar un esbozo de argumento. Por Clifford del Teorema, $V$ es la suma de irreductible $H$-representaciones. Si dos de estos son isomorfos, entonces reemplazando $G$ por su subgrupo que estabiliza la representación, podemos asumir que todos los sumandos son isomorfos a un solo $H$-representación $W$.

Deje $g \in G$ ser tal que su imagen se forme el grupo cíclico $G/H$. A continuación, el automorphism de $G$ inducida por $g$ estabiliza $W$. Deje $W(H)$ ser la imagen de $W$ ${\rm GL}_n(k)$ algunos $n$. A continuación, podemos encontrar una matriz $\alpha \in {\rm GL}_n(k)$ que los efectos de la equivalencia de las $W$$W^g$, lo $\alpha$ normaliza $W(H)$ e induce la misma automorphism como $g$. Ahora (aquí es donde usamos la clausura algebraica de $k$ - el resultado no es cierto sin que la asunción) podemos multiplicar $\alpha$ por un escalar matriz a hacer $\langle W(H),\alpha \rangle$ la imagen de una extensión de $W$$G$.

De hecho, si $|G/H|=m$, entonces podemos multiplicar $\alpha$ por cualquier escalar matriz de orden dividiendo $m$, y todavía tiene una extensión de $W$$G$, y no es difícil ver que estos $m$ extensiones son mutuamente no equivalentes.

Así hemos demostrado que, en esta situación, $W$ se extiende a $m$ distintos irreductible representación de $G$. Por Frobenius la Reciprocidad, la inducida por la representación de $W^G$ tiene cada una de estas representaciones como un componente, por lo que es la suma de estos $m$ representaciones. Pero nuestro original represenation $V$ $G$ también sería necesario un componente de $W^G$, que no es posible, por lo que tenemos una contradicción.