Solicitud para el suave explicación de la definición de una topología con su característica universal

Question

Estoy leyendo un libro que dice que siempre que podemos definir una topología diciendo: "es la más grande de la topología que satisfacer $p$", entonces es posible definir la misma topología diciendo que es el "más pequeño de la topología que satisfacer $q$". ¿Por qué es eso? He aquí un ejemplo:

Considere la posibilidad de $f:X\rightarrow Y$ y una determinada topología en $X$, entonces no es una más grande (o mejores) topología en $Y$, lo que hace que $f$ continuo. Pero, la misma topología en $Y$ puede ser definido como el más pequeño (o más tosca) la topología en $Y$ que satisfacen la propiedad: para cada espacio topológico $Z$ y $g:Y\rightarrow Z$, la continuidad de $g\circ f$ implica la continuidad de $g$.

Necesito más de información sobre este o un cero de una prueba. (Aunque, supongo que es obvio para la mayoría de la gente). Muchas gracias.

Answer 1

Deje $(X_i)_i$ ser una colección de espacios topológicos, y deje $(f_i:X_i\rightarrow Y)_i$ ser una colección de funciones para el conjunto de $Y$. Los mejores topología en $Y$, lo que hace que todos los $f_i$ continua se llama la topología final $\tau_f$. Considere la posibilidad de cualquier topología $\tau_*$ $Y$ con la propiedad

Al $g:Y\to Z$ es una función a cualquier espacio $Z$, $g$ es continua si $gf_i:X_i\to Z$ es continua para cada una de las $i\in I$.

Considere la función identity $\text{id}:(Y,\tau_*)\rightarrow Z:=(Y,\tau_f)$ y el pensar de los $f_i$ como mapas de $X_i$ a $(Y,\tau_*)$. A continuación, las composiciones $\text{id}\circ f_i$ son los mapas $f_i:X_i\rightarrow(Y,\tau_f)$. Estos mapas son continuas por la definición de la topología final. El universal propiedad implica entonces que $\text{id}$ es continuo, por lo tanto $\tau_*$ es más fino que el de $\tau_f$.

Por lo $\tau_f$ es el más áspero de la topología de la satisfacción de la propiedad por escrito en Cursiva en su pregunta. Los mejores topología sería el discretos.

Generalmente uno modifica la formulación de esta propiedad un poco, así que se define la topología en $Y$ únicamente por exigiendo una topología tal que $g$ es continua si y sólo si $g\circ f_i$ es continua para todos los $i$.